87962 - STATISTICAL FIELD THEORY

Qui forniamo un syllabus dettagliato degli argomenti trattati in entrambi i moduli del corso, con riferimenti ai capitoli/sezioni pertinenti dei testi consigliati per lo studio (vedi sotto nella sezione Testi/Bibliografia).

Parte 1 (modulo 2, Prof. L. Piroli)

Richiami di Meccanica Statistica Classica e Quantistica

• Postulato dell’eguaglianza a priori delle probabilità.
• Ensemble microcanonico per sistemi classici di particelle.
• Definizione di entropia e temperatura.
• Ensemble canonico.
• Richiami di meccanica statistica quantistica.

  Libri standard di meccanica statistica, per es. Rif. [1]

  Transizioni di fase

• Definizione e classificazione delle transizioni di fase.
• Esempi: condensazione di un gas in un liquido e transizione paramagnetica-ferromagnetica in un ferromagnete.
• Punto critico e parametro d’ordine.
• Introduzione agli esponenti critici.

  Cap. 1.3, 1.4 in Rif. [2] e Cap. 1 in Rif. [3].

  Teoria del campo medio

• Introduzione al modello di Ising classico.
• Soluzione di campo medio ed energia libera in approssimazione di campo medio.
• Rottura spontanea della simmetria e comparsa di un parametro d’ordine.
• Derivazione degli esponenti critici nell’approssimazione di campo medio.

  Cap. 5 in Rif [4], Cap. 2 in Rif. [3].

  Analisi esatta del modello di Ising

• Soluzione esatta del modello di Ising 1D tramite il metodo della matrice di trasferimento.
• Calcolo delle funzioni di correlazione e della lunghezza di correlazione.
• Argomento di Peierls per l’esistenza di un ordine ferromagnetico in 2D.
• Enunciato della dualità di Kramers-Wannier e risultato esatto di Onsager.

  Cap. 6.2 in Rif. [2]. Cap. 14.3 in Rif. [1].

  Teoria di Landau-Ginzburg

• Dalle funzioni di partizione su reticolo agli integrali di cammino in teoria dei campi.
• Derivazione dell’energia libera di Landau-Ginzburg vicino al punto critico basata su principi fisici.
• Approssimazione di punto a sella e definizione della dimensione critica inferiore e superiore.
• Soluzioni di punto a sella con condizioni al contorno non uniformi: domain-walls.

  Cap. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 in Rif. [2]. Sez. 1 in Rif. [5].

  Fluttuazioni

• Calcolo delle correzioni quadratiche vicino ai punti critici e derivazione della dimensione critica superiore per il modello di Ising.
• Funzioni di correlazione e criterio di Ginzburg.

  Alcune parti del Cap. 3 in Rif. [2] e della Sez. 2 in Rif. [5].

  Ipotesi di scaling

• Funzioni omogenee (generalizzate).
• Ipotesi di scaling e derivazione delle relazioni tra esponenti.
• Relazioni di iperscaling.

  Cap. 4.1, 4.2, 4.3 in Rif. [2]

  Gruppo di Rinormalizzazione (RG)

• Soluzione esatta del modello di Ising 1D tramite RG nello spazio reale.
• Introduzione concettuale generale nel contesto di Landau-Ginzburg.
• Linearizzazione del flusso RG vicino al punto critico.
• Direzioni di scaling, dimensioni anomale e classificazione degli operatori rilevanti, irrilevanti e marginali.
• Derivazione dell’ipotesi di scaling dal punto di vista del RG.

  Cap. 6.3 in Rif. [2] (soluzione esatta del modello di Ising 2D). Cap. 4.4, 4.5 in Rif.[2]. Cap. 3 in Rif. [3]. Parti della Sez. 3 in Rif. [5].

  Modello Gaussiano

• Soluzione esatta del modello gaussiano e analisi esatta tramite RG nello spazio dei momenti.
• Rilevanza dei termini perturbativi in funzione della dimensione.
• Definizione delle funzioni beta e osservazioni sugli operatori dangerous-irrilevant.

  Cap. 4.5 e 4.6 in Rif. [2]. Parti della Sez. 3 in Rif. [5].

  Parte 2 (modulo 1, Prof. F. Ravanini)

  Richiami di alcuni concetti in Teoria dei Campi

• Integrali di cammino in MQ e in QFT.
• Funzioni di correlazione, rotazione di Wick e formalismo euclideo, teorema di Wick.
• Simmetrie e leggi di conservazione, teorema di Nöther, identità di Ward.
• Tensore energia-impulso.

  Cap. 2 (Sez. da 2.1 a 2.5) in Rif. [7]

  Teoria dei Campi conforme in D dimensioni

• Connessione tra Teoria Quantistica dei Campi e Meccanica Statistica.
• Algebra dei campi locali.
• Trasformazioni conformi in D dimensioni.
• Teorema di Polyakov.
• Campi Quasi-primari.

  Sez.. da 10.1 a 10.4 in Rif. [6] e Cap. 4 in Rif. [7]

  Invarianza conforme in D=2

• Trasformazioni conformi 2D.
• Algebra conforme classica (de Witt) in D=2.
• Identità di Ward e campi primari.
• Bosoni e fermioni massless liberi.
• Tensore energia-impulso, carica centrale e algebra di Virasoro.
• Hamiltoniana su un cilindro ed effetto Casimir.
• Teoria delle rappresentazioni: spazio degli stati conformi e spazio dei campi conformi.
• Espansione di prodotto di operatori (OPE).
• Bootstrap conforme.

  Sez. da 10.5 a 10.9 in Rif. [6] e Cap. 5 e 6 in Rif. [7]

  Modelli minimali

• Moduli di Verma, vettori nulli e rappresentazioni degenere.
• Matrice di Gram e determinante di Kac.
• Modelli minimali, tabelle di Kac.
• Conteggio degli stati, funzioni theta e caratteri di Virasoro.
• Modelli di Landau-Ginzburg e modelli minimi.
• Equazioni differenziali per le funzioni di correlazione.
• OPE e regole di fusione.
• Esempi di classi di universalità in D=2 e modelli minimali.
• Costruzione di Feigin-Fuchs e gas di Coulomb.
• Landau-Ginzburg e modelli minimali.

  Sez. da 11.1 a 11.6 in Rif. [6] e Cap. 8-9 in Rif. [7]

  Invarianza modulare

• Gruppo modulare.
• Funzione di partizione modulare invariante.
• Funzioni di partizione dei modelli minimali.
• Orbifold e teorie eccezionali.
• Classificazione ADE dei modelli minimali.

  Sez. 11.7 in Rif. [6] e Cap. 10 in Rif. [7]

  Teorie bosoniche e fermioniche libere

• CFT con c = 1 e loro classificazione.
• Fermioni liberi: settori di Neveu-Schwarz e di Ramond.
• Fermioni liberi e modello di Ising.

Sez. da 12.1 a 12.3 in Rif. [6]