54777 - GEOMETRIA PROIETTIVA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce i principali elementi della teoria degli spazi proiettivi. Sa comprendere la geometria affine come aspetto locale della geometria proiettiva e viceversa, la geometria proiettiva come sintesi dei fenomeni affini.

Contenuti

Radici storiche della geometria proiettiva. Leon Battista Alberti e le sue proiezioni e sezioni. Il "piano allargato" come piano a cui si aggiungono le direzioni delle rette.

Spazi proiettivi: definizione, dimensione. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee rispetto a un riferimento; punti fondamentali e punti unità. Il riferimento proiettivo standard su Pn(K). Sottospazi proiettivi: definizione, codimensione,equazioni cartesiane. Il sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme dello spazio, intersezione e somma di sottospazi proiettivi.Punti linearmente indipendenti e punti in posizione generale. Equazioni parametriche per un sottospazio proiettivo.Sottospazi proiettivi incidenti e sghembi. Formula di Grassmann proiettiva. Sottospazi proiettivi in posizione generale.

Morfismi e isomorfismi proiettivi, proiettività.Proiezione di centro un punto su un iperpiano. Il gruppo delle proiettività PGL(V); PGL(V) come gruppo quoziente. Caratterizzazione delle (n+2)-uple di punti in posizione generale in P^n.Un riferimento proiettivo è determinato da una (n+2)-upla di punti in posizione generale. Esiste ed è unico l'isomorfismo proiettivo tra spazi proiettivi n-dimensionali che manda una (n+2)-pla di punti in posizione generale in una (n+2)-pla di punti in posizione generale. Equazioni di un morfismo proiettivo. Equazioni di cambiamento di coodinate omogenee.Birapporto di 4 punti su una retta proiettiva.

Completamento di uno spazio affine ad uno spazio proiettivo, carte affini.

Modelli geometrici per P^n(R), la sfera di Riemann come modello per P^1(C).

La dualità proiettiva; esempi di proposizioni duali, esempi di proposizioni autoduali.

Chiusura proiettiva di una retta del piano affine, il punto che si aggiunge è la classe di un vettore di direzione della retta.

In uno spazio proiettivo ha senso solo considerare gli zeri di polinomi omogenei.Generalità sui polinomi omogenei.Omogeneizzazione e deomogeneizzazione di polinomiin più variabili.

Ipersuperfici algebriche proiettive, affini, euclidee; in particolare, curve algebriche piane, superfici algebriche dello spazio 3-dimensionale; grado, supporto.

Cosa vuol dire classificare una curva algebrica piana, e più in generale una ipersuperficie, dal punto di vista affine, euclideo, proiettivo. Il grado come invariante.

Un veloce ripasso su forme bilineari simmetriche su un K-spazio vettoriale V finitamente generato (Matrice che rappresenta una forma bilineare rispetto ad una base. Due matrici rappresentano la stessa forma se e solo se sono congruenti. Rango di una forma bilineare. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. La scelta di una base permette di dare corrispondenze biunivoche tra matrici simmetriche, forme bilineari simmetriche, forme quadratiche e polinomi omogenei di secondo grado. Vettori e sottospazi ortogonali rispetto a una forma bilineare simmetrica.Vettori isotropi. La decomposizione di V come somma diretta della retta generata da un vettore non isotropo v e il sottospazio ortogonale a v. Il teorema di esistenza di basi diagonalizzanti per una forma bilineare simmetrica su un K-spazio vettoriale e sue formulazioni equivalenti (ogni matrice simmetrica di ordine n su K è congruente ad una matrice diagonale; ogni polinomio omogeneo di secondo grado si può scrivere come somma di quadrati di polinomi lineari omogenei). Forma canonica di una forma quadratica sul campo reale (teorema di Sylvester) e sul campo complesso.Segnatura di una forma quadratica reale; forme quadratiche reali semidefinite e definite positive e negative, e indefinite.Il teorema spettrale.)

Iperquadriche proiettive, matrici associate, matrici di una iperquadrica proiettivamente equivalente, rango di una iperquadrica, segnatura di una iperquadrica reale come invarianti proiettivi. Classificazione proiettiva delle iperquadriche reali e complesse.

Descrizione geometrica delle forme canoniche delle coniche e delle quadriche proiettive reali e complesse.

Invarianti affini delle coniche reali e complesse.Classificazione affine delle coniche reali e complesse. Classificazione euclidea delle coniche.

Descrizione geometrica delle forme canoniche delle coniche euclidee. Ellisse, iperbole e parabola del piano reale come luogo di punti; assi, centro.

Un polinomio omogeneo di grado d in due variabili su un campo algebricamente chiuso si annulla su d punti della retta proiettiva contati con molteplicità.

Completamento proiettivo e punti impropri di una curva algebrica piana affine; intersezione di una curva proiettiva con le carte affini. Esempi di intersezione di una conica e una retta nel piano proiettivo reale e complesso. Classificazione affine delle coniche mediante i punti impropri.

Descrizione geometrica delle forme canoniche delle quadriche euclidee non degeneri: ellissoide reale ed ellissoide a punti non reali,iperboloide a una falda, iperboloide a due falde, paraboloide ellittico, paraboloide a sella. Quali quadriche sono rigate e quali no; descrizione delle schiere di rette sulle quadriche rigate. Classificazione affine delle quadriche reali e complesse, classificazione euclidea delle quadriche.

Geometria nel piano su un campo algebricamente chiuso: Molteplicità di intersezione di una curva e una retta in un punto nel caso affine e nel caso proiettivo. Nel piano proiettivo la somma delle molteplicità di intersezione di una curva e una retta sui punti della retta è il grado della curva. Generalizzazione alle ipersuperfici: Molteplicità di intersezione di una ipersuperficie e una retta in un punto nel caso affine e nel caso proiettivo.

Nel piano affine la somma delle molteplicità di intersezione di una curva e una retta sui punti della retta è minore o uguale al grado della curva. Molteplicità di una curva in un punto. Caratterizzazione dei punti multipli attraverso le derivate. Equazione del cono tangente; retta tangente in un punto semplice ad una curva affine; le tangenti principali in un punto mutiplo.

Generalizzazione alle ipersuperfici: punti singolari e non per una ipersuperficie affine, un punto è singolare se sta sull'ipersuperficie e annulla tutte le derivate prime, spazio tangente ad una ipersuperficie.

Nel piano, punti multipli ordinari e non. Come leggere sul polinomio che definisce una curva affine la molteplicità dell'origine O e il cono tangente in O. Esempi di punti singolari: nodo, cuspide ordinaria, punto triplo ordinario. Curve irriducibili e componenti irriducibili di una curva piana. Una cubica piana irriducibile singolare è proiettivamente equivalente alla cuspide o al nodo.

Se una retta è contenuta in una curva piana (come supporti) allora l'equazione della retta divide quella della curva. Esempi sulle singolarità: ricerca dei punti singolari di una curva, studio di una curva intorno ad un punto singolare che non sia l'origine. Caratterizzazione dei punti multipli attraverso le derivate nel caso proiettivo, equazione della tangente proiettiva in un punto semplice di una curva. Generalizzazione alle ipersuperfici proiettive: punti singolari e non, un punto sta sull'ipersuperficie ed è singolare se annulla tutte le derivate prime, lo spazio tangente proiettivo ad una ipersuperficie è la chiusura proiettiva di quello affine. Le coniche e le quadriche singolari sono quelle che hanno rango non massimo. Punti di flesso ordinari e non. Asintoti di una curva piana affine.

Il complesso delle direzioni asintotiche di una curva piana affine. Esempi sulle singolarità: un flecnodo, un biflecnodo, studio di un punto doppio non ordinario: uso di famiglie di curve osculatrici, esempi di rami che si separano al secondo ordine e oltre, il tacnodo. La legge di gruppo su una cubica piana liscia, solo cenni per l'associatività.

Cenni sul modulo di una cubica piana liscia e la classificazione delle cubiche piane non singolari. La legge di gruppo quando la cubica è in forma normale e l'elemento neutro è il flesso all'infinito.

Testi/Bibliografia

E.Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri, Torino 1989

M.Reid: "Undergraduate Algebraic Geometry", Cambridge University Press 1988

http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame orale

Strumenti a supporto della didattica

Vengono messi in rete su http://www.dm.unibo.it/~ida/annoincorso.html fogli di esercizi, che si aggiungono a quelli reperibili nei testi consigliati.

Inoltre su http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm si possono trovare alcuni argomenti del corso e relativi esercizi interattivi.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~ida

Orario di ricevimento

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