37261 - NUMERICAL ANALYSIS

Conoscenze e abilità da conseguire

The student learns the numerical methods for differential problems. At the end of the course the student knows the numerical-mathematical aspCFU and the main algorithmic methodologies that deal with the numerical solution of differential problems of interest in Engineering.

Contenuti

Prerequisiti:

Sono richieste conoscenze pregresse di Geometria e Algebra, Analisi Matematica e programmazione in MATLAB. Si richiede inoltre la conoscenza degli argomenti di base dell'Analisi Numerica.

Programma:

1. Metodi iterativi per risolvere singole equazioni non-lineari e sistemi di equazioni non-lineari

Richiami ai metodi iterativi per la ricerca delle radici di un'equazione non-lineare in una variabile: il metodo di bisezione, il metodo di Newton, il metodo delle secanti. Metodi iterativi per la risoluzione numerica di sistemi di equazioni non-lineari: metodo di Newton e metodi Quasi-Newton.

2. Differenziazione numerica: approssimazione delle derivate per differenze finite

Approssimazione delle derivate di una funzione per differenze finite. Il metodo dei coefficienti indeterminati. Calcolo della lunghezza del passo che minimizza l'errore totale associato alle approssimazioni delle derivate mediante differenze finite. Come aumentare l'accuratezza delle approssimazioni delle derivate con differenze finite tramite estrapolazione di Richardson.

3. Integrazione numerica mediante formule di quadratura Gaussiane

Una breve rassegna delle formule di quadratura di Newton-Cotes e dei loro svantaggi. Formule di quadratura Gaussiane aperte e chiuse. Algoritmi numerici per calcolare nodi e pesi delle formule di quadratura di Gauss-Legendre, Gauss-Lobatto e Gauss-Radau.

4. Metodi numerici per la risoluzione di ODE-IVP

Equazioni differenziali ordinarie (ODEs) e problemi ai valori iniziali (IVPs). Esistenza, unicità e stabilità delle soluzioni. Metodi numerici per la risoluzione di ODE-IVP: metodi a un passo (Runge-Kutta), metodi Runge-Kutta adattivi, metodi multistep di Adams, metodi Predittore-Correttore e metodi BDF. Accuratezza e stabilità dei metodi numerici per ODE-IVP. Problemi stiff.

5. Metodi numerici per la risoluzione di ODE-BVP

Problemi con valori ai limiti (BVPs) che coinvolgono equazioni differenziali ordinarie (ODEs) lineari/non lineari del secondo ordine. Metodi shooting e metodi alle differenze finite.

Testi/Bibliografia

Fondamentale sarà l'utilizzo degli appunti presi a lezione e del materiale informatico reso disponibile all'indirizzo https://virtuale.unibo.it/.

Per ulteriori approfondimenti si consigliano:

[1] J. Kiusalaas: Numerical Methods in Engineering with MATLAB, 3rd ed., Cambridge University Press, 2015.

[2] K. Atkinson, W. Han, D. Stewart: Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, John Wiley and Sons, 2009.

[3] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerical Mathematics, 2nd ed., Springer, 2007.

[4] R.J. LeVeque: Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, 2007.

[5] U.M. Ascher, L.R. Petzold: Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998.

 

Per colmare eventuali lacune relative ai prerequisiti di Analisi Numerica e ai fondamenti di programmazione in MATLAB si consigliano:

[1] A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio: Scientific Computing with MATLAB and Octave (4th edition), Springer, 2014.

[2] C. Moler: Numerical Computing with MATLAB, SIAM, 2004.

[3] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, 2002.

[4] C.T. Kelley: Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, SIAM, 1995.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali ed esercitazioni nel laboratorio informatico. Più precisamente, alle lezioni frontali in aula in cui vengono presentati i metodi numerici per la risoluzione di problemi descritti da equazioni differenziali ordinarie, fanno seguito esercitazioni in laboratorio che mirano all'implementazione di tali metodi in MATLAB e allo sviluppo di un'adeguata sensibilità e consapevolezza del loro utilizzo.

In considerazione della tipologia di attività e dei metodi didattici adottati, la frequenza di questa attività formativa richiede la preventiva partecipazione di tutti gli studenti ai Moduli 1 e 2 di formazione sulla sicurezza nei luoghi di studio [https://elearning-sicurezza.unibo.it/] in modalità e-learning.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame di fine corso mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- conoscenza degli aspetti numerico-matematici e delle principali metodologie algoritmiche per la risoluzione di problemi descritti da equazioni differenziali ordinarie;

- capacità di risolvere in modo efficiente problemi reali di interesse nell'Ingegneria, utilizzando o costruendo metodi numerici e programmi di calcolo in ambiente MATLAB.

La prova d'esame (la cui valutazione è in trentesimi) si svolgerà in laboratorio. Lo studente avrà a disposizione 120 minuti per risolvere due esercizi che richiedono, sia la realizzazione al calcolatore di codici MATLAB per la risoluzione di problemi differenziali, che la risposta scritta a domande teoriche su argomenti trattati nelle lezioni frontali.

Durante la prova d'esame non possono essere consultati libri di testo, appunti, o strumenti informatici di supporto.

Per accedere alla prova d'esame è necessario esibire un documento di riconoscimento.

Le date delle prove d'esame sono consultabili sulla piattaforma web AlmaEsami dell'Ateneo di Bologna. 

 

Precisazioni sulla verbalizzazione del voto d'esame per coloro che hanno l'insegnamento di NUMERICAL ANALYSIS (6 CFU) come modulo del corso integrato di NUMERICAL AND MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING (12 CFU)

Se l'insegnamento di NUMERICAL ANALYSIS (6 CFU) è uno dei due moduli che, insieme all'insegnamento di MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING (6 CFU), costituisce il corso integrato di NUMERICAL AND MATHEMATICAL METHODS FOR ENGINEERING (12 CFU), la votazione che verrà verbalizzata sarà data dalla media aritmetica delle singole votazioni che lo studente avrà ottenuto nei due moduli. Si precisa che il risultato della media sarà arrotondato all'intero più vicino. Solo nel caso in cui la media risulterà esattamente equidistante tra due interi, si procederà per arrotondamento all'intero superiore. Infine, per ottenere come valutazione finale “30 e lode”, lo studente dovrà trovarsi in uno dei seguenti due casi:
- avere ottenuto “30 e lode” in entrambi i moduli;
- avere ottenuto “30 e lode” in un modulo e 30 nell'altro.

Strumenti a supporto della didattica

Il corso prevede un'attività di laboratorio in cui si utilizzerà il software MATLAB. Il relativo materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente in formato elettronico e sarà reperibile all'indirizzo https://virtuale.unibo.it/.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Lucia Romani