04524 - ANALISI NUMERICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce gli aspetti numerico-matematici e le principali metodologie algoritmiche che gli permettono di risolvere al calcolatore problemi di interesse nell'ingegneria. In particolare: i metodi di algebra lineare numerica per risolvere sistemi lineari e non lineari, problemi lineari ai minimi quadrati, modelli differenziali. Lo studente effettua esercitazioni e progetti svolti insieme al docente in laboratorio con l’ausilio del software MATLAB.

Contenuti

1. Numeri Finiti - Rappresentazione dei numeri reali. I numeri finiti. Errori di rappresentazione. Aritmetica floating point. Analisi dell'errore nelle operazioni aritmetiche elementari. Propagazione degli errori: condizionamento di un problema e stabilità dell'algoritmo risolutivo.

2. Richiami di Algebra Lineare - Richiami su vettori, matrici e spazi vettoriali. Norme di vettori e norme di matrici.

3. Zeri di Funzioni - Formulazione del problema. Tecniche di risoluzione. Metodi iterativi, convergenza e ordine dei metodi. Metodi a convergenza globale e a convergenza locale. Metodo di bisezione, di Newton e delle secanti. Metodi iterativi di punto fisso. Teoremi di convergenza.

4. Soluzione numerica di Sistemi Lineari - Numero di condizionamento di una matrice e condizionamento del problema. Algoritmo di eliminazione Gaussiana e fattorizzazione LU di una matrice. Stabilità della fattorizzazione LU. Strategie pivotali. Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche e definite positive. Metodo di Householder e fattorizzazione QR di matrici rettangolari. Proprietà dei metodi introdotti.

5. Approssimazione ai minimi quadrati - Metodo delle equazioni normali e metodo QRLS (risoluzione del problema ai minimi quadrati utilizzando la fattorizzazione QR). Proprietà dei due metodi.

6. Interpolazione - Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità del polinomio interpolatore. Forma di Lagrange e forma di Newton. Espressione dell'errore nell'interpolazione polinomiale. Problemi di convergenza. Condizionamento del problema di interpolazione polinomiale.

7. Integrazione Numerica - Formule di quadratura di Newton-Cotes (formula dei trapezi e di Simpson). Formule semplici e formule composite. Errore delle formule di quadratura semplici e composite. Quadratura adattiva.

Testi/Bibliografia

Fondamentale sarà l'utilizzo degli appunti presi a lezione e del materiale informatico reso disponibile all'indirizzo https://virtuale.unibo.it/.

Per ulteriori approfondimenti si consigliano:

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio: Matematica Numerica (4a edizione), Springer Verlag, 2014.

[2] A. Quarteroni, F. Saleri: Introduzione al Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB (3a edizione), Springer Verlag, 2006.

[3] R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi Numerici, Zanichelli, Bologna, 1992.

[4] D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1996.

In alternativa, per chi desiderasse un testo in inglese, si consigliano:

[5] A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio: Scientific Computing with MATLAB and Octave (4th edition), Springer, 2014.

[6] U. M. Ascher, C. Greif: A first Course in Numerical Methods, SIAM, 2011.

[7] C. Moler: Numerical Computing with MATLAB, SIAM, 2004.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali ed esercitazioni nel laboratorio informatico. Più precisamente, alle lezioni frontali in aula in cui vengono presentati i metodi numerici di base per risolvere problemi classici della matematica mediante l'uso di un calcolatore, fanno seguito esercitazioni nel laboratorio informatico che mirano all'implementazione di tali metodi in MATLAB e allo sviluppo di un'adeguata sensibilità e consapevolezza del loro utilizzo.

In considerazione della tipologia di attività e dei metodi didattici adottati, la frequenza di questa attività formativa richiede la preventiva partecipazione di tutti gli studenti ai Moduli 1 e 2 di formazione sulla sicurezza nei luoghi di studio [https://elearning-sicurezza.unibo.it/] in modalità e-learning.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame di fine corso mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo numerico illustrati durante le lezioni frontali;

- capacità di impiegare i metodi numerici di base per risolvere problemi reali mediante il calcolatore.

La prova d'esame (la cui valutazione è in trentesimi) si svolgerà in laboratorio. Lo studente avrà a disposizione 90 minuti per risolvere due esercizi che richiedono, sia la realizzazione al calcolatore di codici MATLAB per la risoluzione di problemi numerici, che la risposta scritta a domande teoriche su argomenti trattati nelle lezioni frontali.

Durante la prova d'esame non possono essere consultati libri di testo, appunti, o strumenti informatici di supporto.

Per accedere alla prova d'esame è necessario esibire un documento di riconoscimento.

Le date delle prove d'esame sono consultabili sulla piattaforma web AlmaEsami dell'Ateneo di Bologna. 

Strumenti a supporto della didattica

Il corso prevede un'attività di laboratorio in cui si utilizzerà il software MATLAB. Il relativo materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente in formato elettronico e sarà reperibile all'indirizzo https://virtuale.unibo.it/.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Lucia Romani