37643 - ANALISI MATEMATICA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, una volta superata la prova di verifica finale, lo studente dovrebbe possedere le conoscenze di base relative all’analisi ed in particolare alle funzioni di una variabile reale: proprietà di tali funzioni, lettura ed interpretazione di grafici, derivate, integrali e loro significato, approssimazione delle stesse.

Contenuti

INSIEMISTICA E INSIEMI NUMERICI. Richiami di insiemistica. Insiemi numerici: naturali, interi, razionali e reali. Definizione e operazioni sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso, modulo e argomento di un numero complesso, forma esponenziale di un numero complesso. Formula di de Moivre, radici di un numero complesso, equazioni algebriche in C, la funzione esponenziale complessa.

FUNZIONI: Richiami sulle funzioni: composizione di funzioni, funzioni invertibili e funzioni inverse. Funzioni monotone.

SUCCESSIONI. Definizione di successione di numeri reali convergente e divergente. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teoremi di confronto, dei due carabinieri. L'algebra dei limiti. Successioni monotone e loro limiti.

FUNZIONI CONTINUE.  Definizione di funzione continua di una variabile reale. I teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Definizione di limite per funzioni reali di una variabile reale; estensione dei risultati stabiliti per le successioni. Continuità della composizione di due funzioni continue e il teorema di cambiamento di variabile nei limiti. Il teorema sui limiti delle funzioni monotone.

CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Il calcolo delle derivate. I teoremi del valor medio e loro applicazione allo studio della monotonia di una funzione. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano e in quella di Lagrange. Estremanti locali: definizioni, condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Funzioni convesse.

CALCOLO INTEGRALE. Definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Condizioni sufficienti di integrabilita'. I teoremi fondamentali del calcolo integrale. I teoremi di integrazione per sostituzione e di integrazione per parti. Funzioni continue a tratti e proprieta' dei loro integrali.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili.

Testi/Bibliografia

TEORIA

1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (seconda edizione), McGraw-Hill (2011)
2. G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 1, Zanichelli (2009)
   

ESERCIZI. M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Progetto Leonardo - Esculapio (2011)

Metodi didattici

Lezione frontale alla lavagna e ricevimento settimanale.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. 

La prova scritta sarà composta da esercizi. La durata sarà di 2 ore e 30 minuti. Non è consentito l'uso di appunti, libri né calcolatrici.

L'accesso alla successiva prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato la prova scritta con un punteggio maggiore o uguale a 18/30. 

La prova orale verte sulla verifica della comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati, su esempi e controesempi.

Ci saranno 6 appelli (ognuno dei quali avrà sia scritto che orale): 3 nella sessione invernale (gennaio - febbraio) e 3 nella sessione estiva (2 tra giugno-luglio + 1 in settembre).

La prova orale deve essere sostenuta all'interno della stessa sessione in cui si è superata la prova scritta.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (qualora assegnato).

Fogli di esercizi caricati sul sito di UniBo "VIRTUALE"

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Eugenio Vecchi