66876 - ALGEBRA LINEARE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del modulo, lo studente conosce e sa usare l'algebra lineare di base: sa risolvere sistemi lineari, risolvere problemi negli e con gli spazi vettoriali (in particolare conosce i concetti di indipendenza lineare, sottospazio, base e dimensione), moltiplicare e invertire matrici, studiare applicazioni lineari (in particolare conosce i concetti di autovalore e autovettore)

Contenuti

 

1. Spazi vettoriali di dimensione finita.
   
   Vettori geometrici; sistemi di riferimento. Spazi vettoriali reali. Spazi vettoriali geometrici Vn (n=1,2,3) e spazi vettoriali numerici Rn (n=1,2,3,4,...).
   
   Combinazioni lineari; indipendenza lineare; dimensione e basi di uno spazio vettoriale; coordinate rispetto a una base.
   
   Lunghezza, ortogonalità, prodotto scalare di vettori geometrici. Spazi vettoriali Euclidei. Spazi vettoriali Euclidei Rn. Basi ortogonali.
   
   
2. Sistemi lineari e matrici.
   
   Sistemi lineari e matrici. Metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi lineari di n equazioni in n incognite con un'unica soluzione e basi di Rn.
   
   Matrici, prodotto, invertibilità, inversione. Scrittura Ax=b di un sistema lineare. Matrici invertibili e sistemi lineari con un'unica soluzione.
   
   Aree e volumi con segno. Determinante di una matrice nxn. Determinante e invertibilità di matrici.
   
   
3. Sottospazi
   
   Rette vettoriali e piani vettoriali in V3. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Spazi associati a una matrice; rango, teorema della dimensione. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare.
   
   
4. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali di dimensione finita.
   
   Trasformazioni degli spazi vettoriali geometrici. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Applicazioni lineari fra spazi Rn e matrici.
   
   Endomorfismo di uno spazio vettoriale, sua matrice rispetto a una base; composizione di endomorfismi e prodotto di matrici. Relazione fra le matrici di uno stesso endmorfismo.
   
   Applicazioni lineari fra spazi vettoriali: iniettività, biiettività, invertibilità; spazio nucleo, spazio immagine, teorema della dimensione.
   
   
5. Autovettori, autovalori, diagonalizzazione.
   
   Trasformazioni geometriche, rette vettoriali invarianti. Autovettori, autovalori e diagonalizzabilità di un'endomorfismo.
   
   Polinomio caratteristico, autospazi. Teoremi sulla diagonalizzazione.
   
   Teorema spettrale sugli endomorfismi di uno spazio vettoriale Euclideo ortogonalmente diagonalizzabili.

Testi/Bibliografia

• Appunti delle lezioni ed esercizi, pubblicati settimanalmente dal docente su Virtuale. 
• Per un'apertura su un panorama di contenuti e applicazioni dell'algebra lineare più vasto di quello del corso si segnala: G. Strang, Linear Algebra for Everyone, Wellesley-Cambridge Press
  

Metodi didattici

• Lezioni frontali.
• Ogni settimana verranno assegnati degli esercizi, che saranno corretti da un tutor.
  
  

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per superare l'esame del corso integrato Analisi Matematica - Algebra Lineare bisogna superare l'esame sulle singole parti; il voto d'esame del corso integrato è la media dei voti delle singole parti.

Esame sulla parte di Algebra Lineare:

• L'esame consiste di una prova scritta ed una prova orale, da svolgere nello stesso appello.
  
• Per accedere alla prova orale bisogna ottenere nella prova scritta un voto di almeno 12/30. La prova orale è decisiva.
• La prova scritta mira a verificare la capacità di applicare la teoria alla risoluzione di esercizi del tipo di quelli assegnati durante il corso. Vanno riportati e motivati i passaggi. Non è ammesso l'uso di libri, appunti o calcolatrici; solo carta e penna. Dura 1 ora e 30 minuti.
• La prova orale mira a verificare la conoscenza della teoria sviluppata durante il corso. Verrà chiesto di dare definizioni ed esempi dei concetti e di dare enunciati e dimostrazioni di proposizioni. Dura circa 30 minuti.

Strumenti a supporto della didattica

Ulteriore materiale verrà pubblicato durante il corso su Virtuale.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Francesco Regonati