- Docente: Piero Plazzi
- Crediti formativi: 12
- SSD: SECS-S/06
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea in Economia aziendale (cod. 8871)
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso lo studente: - conosce i fondamenti dell'algebra lineare e della teoria dei limiti e delle successioni. Lo studente è in grado di risolvere un sistema di equazioni lineari di primo grado e di calcolare i limiti delle successioni e delle funzioni più importanti; - conosce gli elementi di calcolo differenziale ed integrale ed è in grado di applicarli alla risoluzione di semplici problemi teorico-pratici ed alla formulazione ed interpretazione dei modelli matematici dell'economia, dell'azienda e della finanza.
Contenuti
0. I prerequisiti sono quelli inclusi nel programma della prova di
ammissione e nel corso di allineamento, in parte ripresi
sistematicamente nel programma. A titolo esemplificativo, essi
comprendono le nozioni fondamentali su: -insiemi numerici;
-geometria elementare (del piano e dello spazio; misurazione di
aree e volumi; geometria analitica)
-algebra (equazioni e calcolo letterale)
-funzioni numeriche (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni
goniometriche).
1. Strutture numeriche. Il linguaggio insiemistico: unione,
intersezione, relazioni, funzioni. Numeri naturali, interi;
razionali e reali (intervalli, operazioni e disuguaglianze: valor
assoluto). Numeri naturali: induzione, fattoriali e
coefficienti binomiali.
2. Sistemi lineari e matrici. Lo spazio R^n; vettori
numerici. Matrici. Somma e prodotto di matrici. Trasposta di una
matrice, matrici simmetriche. Matrici quadrate. Matrice identita'.
L'algebra delle matrici quadrate. Matrici invertibili.
Determinante, formula di Laplace, teorema di Binet. Calcolo della
matrice inversa.
Operazioni elementari per riga sulle matrici. Matrici a gradini.
Algoritmo di Gauss.
Sistemi lineari di m equazioni in n incognite omogenei e non
omogenei. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sui sistemi
lineari. Risoluzione dei sistemi lineari. Teorema di
Rouché-Capelli.
Sistemi lineari quadrati: teorema e regola di Cramer.
3. Successioni e serie numeriche.
Completezza del campo R dei numeri reali. Estremo superiore e
inferiore, massimo e minimo di un insieme di numeri reali.
Successioni e serie: limite di una successione, somma di una serie.
Successioni limitate e monotone. Serie geometriche, serie a termini
positivi: criteri della radice e del rapporto.
4. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale.
4A. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari.
Insieme di esistenza. Grafico delle funzioni elementari. Funzioni
pari e dispari. Estremi ed estremanti, relativi ed assoluti.
Funzioni limitate. Funzioni monotone. Composizione di funzioni.
Funzioni invertibili. Trasformazioni elementari di grafici di
funzioni.
4B. Definizione di limite. Teoremi fondamentali sui limiti.
Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Il
"numero di Nepero e". Funzioni continue. Teorema dell'esistenza
degli zeri (o di Bolzano). Teorema dei valori intermedi. Teorema di
Weierstrass. Invertibilità , monotonia e continuità .
4C. Rapporto incrementale e derivata. Significato geometrico della
derivata. Elasticità. Funzioni derivabili.
Continuità delle funzioni derivabili. Derivate delle funzioni
elementari. Derivata della somma, del prodotto e del quoziente di
due funzioni derivabili. Derivata della composizione di funzioni
derivabili. Derivata dell'inversa di una funzione derivabile.
Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Corollari del teorema di
Lagrange: test di monotonia, caratterizzazione delle funzioni
costanti, teorema del limite della derivata. Teoremi di De
l'Hospital.
Derivate di ordine superiore. Ricerca dei punti di massimo e minimo
assoluti e relativi. Teorema di Fermat (condizione necessaria per
l'esistenza di punti di minimo e massimo relativi). Condizioni
sufficienti per l'esistenza di punti di minimo e massimo relativi.
Concavità , convessità . Punti di flesso. Studio del grafico di una
funzione.
Polinomi di Taylor e di MacLaurin.
5. Calcolo differenziale in due o piu' variabili
Spazi euclidei: prodotto interno, norma, distanza; insiemi limitati, aperti chiusi. Limiti e continuità in più variabili. Primi elementi di calcolo differenziale per funzioni di due o più
variabili, derivate parziali, funzioni differenziabili; gradiente e
matrice hessiana, punti di massimo e di minimo, moltiplicatori di
Lagrange (estremi vincolati). Determinazione dei minimi e massimi
(liberi o vincolati) di una funzione di due variabili con il metodo
della matrice hessiana.
6. Integrazione di funzioni di una variabile.
Definizione secondo Riemann dell'integrale di una funzione limitata
su un intervallo chiuso e limitato. Significato geometrico (area)
dell'integrale. Funzioni integrabili. Integrabilità delle
funzioni monotòne e delle funzioni continue. Linearità e
monotonìa dell'integrale. Additività rispetto all'intervallo
d'integrazione.
Valor medio integrale. Teorema del valor medio integrale per
funzioni continue in un intervallo.
Funzioni integrali di una funzione integrabile, loro proprietà.
Primitive di una funzione: teorema fondamentale del calcolo e
regola di Torricelli. Calcolo delle primitive di una funzione
continua: primitive immediate, integrazione per scomposizione, per
parti e per sostituzione. Integrazione di alcune funzioni razionali
fratte. Integrali generalizzati.
Cenno sulle equazioni differenziali ordinarie, metodi risolutivi
per equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
e lineari.
Testi/Bibliografia
Testo di riferimento generale:
Ritelli, Bergamini, Trifone: Fondamenti di Matematica, Zanichelli,
Bologna, 2005.
Per gli argomenti specifici ci si può riferire a:
Plazzi, Ritelli: Elementi di calcolo in piu' variabili, Pitagora
Editrice, Bologna, 1996 (per questo argomento sono in preparazione delle dispense)
Barnabei-Bonetti, Sistemi lineari e matrici, Pitagora
Editrice.
Un altro manuale che contiene un corso completo di Matematica
Generale è:
Guerraggio, Matematica, Pearson-prentice-Hall (2a ed.)
I testi indicati hanno sezioni di esercizi; per questi si possono
vedere anche
Mulazzani, Di Fabio: Prove d'esame risolte di Matematica Generale
per il corso di Laurea in Economia Aziendale, Esculapio, Bologna,
2013.
E. Franchini, A. Gambini: Esercizi di Matematica per il corso di
Matematica Generale della Facolta' di Economia, Esculapio, Bologna,
2010.
Sono disponibili inoltre (Pitagora Ed.) quaderni con esercizi
risolti e commentati; altri eserciziari con sunto di teoria nella
collana SCHAUM (McGraw-Hill).
Materiale didattico del docente sarà disponibile sul sito iol.unibo.it
Per le conoscenze di base si veda infine la bibliografia specifica
del il corso di allineamento.
Un testo specificamente indirizzato alla matematica per l'Economia
Aziendale è: ST. WANER-ST. R. COSTENOBLE, Strumenti quantitativi
per la gestione Aziendale, Apogeo.
Sono disponibili (Pitagora Ed.) quaderni con esercizi risolti e
commentati; in particolare si segnala per il punto 3
l'eserciziario, con sunto di teoria, Altri eserciziari con
sunto di teoria nella collana SCHAUM (McGraw-Hill).
Metodi didattici
Lezioni accompagnate da esercitazioni in stretta connessione con la
teoria. Di ogni argomento trattato sono state messe in evidenza
motivazioni ed applicazioni su argomenti statistici, economici o
finanziari. Esercitazioni riepilogative. Corso di allineamento
introduttivo e laboratori di supporto.
Esposizione dei concetti, esempi illustrativi. Esposizione e
dimostrazione dei teoremi e delle tecniche di calcolo.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
Prova scritta obbligatoria. Prova orale facoltativa.
Prove parziali: Durante lo svolgimetre nto del corso, al termine dei tre subcicli, si terranno tre prove parziali scritte su quanto svolto precedentemente a lezione (rispettivamente ai punti 1, 2 e 3; 4; 5 e 6 del programma), sostitutive delle prove scritte finali; per le regole specifiche, vedere la pagina web del docente. Sono comunque previste prove di recupero per le singole prove parziali, a cui possono accedere, previa iscrizione alle apposite liste sul sito AlmaEsami, gli studenti immatricolati nell'a.a. corrente. a parte casi particolari. La media ottenuta nelle prove parziali vale come punteggio ottenuto in una prova totale: per esse sono previsti tre appelli ordinari a fine corso.
Tutte e prove scritte sono articolate in quiz e in esercizi a svolgimento, in cui vengono valutate le motivazioni del procedimento e l'esposizione di esse.
Strumenti a supporto della didattica
Lezioni ed esercitazioni alla lavagna: le esercitazioni, tenute da un tutor, sono un supporto importante a quanto svolto nel corso, a cui sono coordinate.
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Piero Plazzi