- Docente: Vittorio Martino
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/05
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea in Ingegneria meccanica (cod. 0927)
Conoscenze e abilità da conseguire
Lo Studente conosce gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.
Contenuti
- Integrali generalizzati
Definizioni e proprieta'.
Criterio del confronto. Criteri del confronto
asintotico.
Assoluta integrabilita'.
Esempi ed esercizi.
- Serie numeriche
Definizioni e proprieta'.
Criterio del confronto. Criteri del confronto
asintotico.
Criterio integrale. Criterio della radice. Criterio
del rapporto.
Assoluta convergenza. Criterio di Leibniz.
Esempi ed esercizi.
- Numeri complessi
Definizioni e proprieta'.
Forma algebrica e forma trigonometrica.
Formula di de Moivre. Radici n-esime.
Formula di Eulero. Forma esponenziale.
Esempi ed esercizi.
- Limiti e continuità per funzioni di più variabili
Lo spazio vettoriale Euclideo R^n. Definizioni e
proprieta'.
Prodotto scalare, norma, distanza. Cenni di topologia.
Limiti per successioni a valori vettoriali.
Compattezza sequenziale. Teorema di Heine-Borel.
Limiti per funzioni reali di piu' variabili. Limiti
per funzioni vettoriali.
Continuita'. Definizioni e proprieta'.
Connessione per archi.
Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
Teorema dei valori intermedi. Teorema degli
zeri.
Esempi ed esercizi.
- Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Derivabilita'. Definizioni ed esempi.
Derivate parziali. Gradiente. Derivata direzionale.
Differenziabilita'. Funzioni di classe C^1.
Definizioni e proprieta'.
Differenziabilita' per funzioni a valori vettoriali.
Matrice Jacobiana.
Insiemi Convessi. Teorema del valor medio.
Funzioni di classe C^k.
Matrice Hessiana. Lemma di Schwarz.
Formula di Taylor al secondo ordine con resto di
Lagrange e Peano.
Estremanti Locali. Punti critici. Teorema di Fermat.
Forme quadratiche. Condizioni sufficienti per
l'esistenza di estremanti locali.
Ipersuperfici in R^n. Spazio tangente. Definizioni e
proprieta'.
Teorema di Dini (della funzione implicita).
Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di
Lagrange.
Esempi ed esercizi.
- Equazioni differenziali
Equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy.
Teorema di esistenza e unicita' locale. Soluzioni
prolungabili e massimali.
Equazioni del primo ordine a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti
continui. Definizioni e proprieta'.
Equazioni omogenee: spazio vettoriale delle soluzioni.
Equazioni non omogenee: spazio affine delle
soluzioni.
Wronskiano. Equazioni lineari del primo ordine.
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti
costanti.
Equazioni non omogenee: metodo di somiglianza.
Metodo della variazione delle costanti.
Esempi ed esercizi.
- Integrale mutliplo
Integrale di Riemann. Misurabilita'. Definizioni ed
esempi.
Teorema della media integrale. Teoremi di
riduzione.
Cambiamenti di variabili. Teorema del cambiamento di
variabile.
Trasformazioni lineari.
Coordinate polari. Coordinate ellittiche.
Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche.
Esempi ed esercizi
Testi/Bibliografia
- N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone. Elementi di Analisi
Matematica Due,
Liguori Editore.
- E.Giusti. Analisi matematica 2,
Bollati Boringhieri Editore.
- M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale
e algebra lineare,
Zanichelli Editore.
- P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica - II vol.,
Liguori Editore
- E.Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica,
Bollati Boringhieri Editore.
- S.Salsa, A.Squellati. Esercizi di Analisi matematica Vol. 2:
Calcolo infinitesimale,
Zanichelli Editore.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta preliminare e una prova orale.
Link ad altre eventuali informazioni
http://www.dm.unibo.it/~martino/
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Vittorio Martino