99560 - FINITE DIFFERENCE METHODS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS M

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente apprende ed è in grado di implementare il metodo delle differenze finite per simulare sistemi acustici lineari e nonlineari. Questi sistemi includono sistemi a gradi di libertà discreti (oscillarore armonico, oscillatore di Duffing, oscillatore di van der Pol, oscillatori con meccanismi di perdita nonlineari), ed anche sistemi estesi vibranti (corde, cavi, barre, membrane e piastre, in regimi lineare e nonlineare). Inoltre, lo studente apprende i metodi matematici utilizzati per l’analisi di tali sistemi, quali metodi di Fourier e Laplace per i sistemi lineari, e metodi perturbativi per i sistemi non lineari.

Contenuti

Il corso offre allo studente le tecniche analitiche e numeriche volte allo studio e alla simulazione di problemi di acustica e vibroacustica. Si tratta quindi di un corso in acustica computazionale. 

Il corso è volto alla comprensione dei processi fisici responsabili della propagazione delle onde elastiche, alla loro modellazione matematica, e alla loro simulazione. Attraverso esempi pratici e numerosi laboratori informatici, lo studente avrà la possibilità di apprezzare le interazioni tra questi tre domini in casi applicativi relativamente semplici, utilizzando gli strumenti appresi a lezione per costruire gli schemi numerici da zero. Non verranno invece utilizzati software di simulazione numerica a scatola chiusa che, pur permettendo la soluzione di problemi complessi, non permettono l'apprendimento delle tecniche di design degli schemi numerici. 

Gli argomenti del corso sono elencati di seguito. 

1. Introduzione alle differenze finite. Costruzione di operatori a differenza finita attraverso la serie di Taylor. Errore di troncamento e ordine di accuratezza.

2. Gli operatori laplaciano e biarmonico. Definizioni, esempi di utilizzo in problemi tipici dell'acustica e vibroacustica. Esempi di problemi al contorno. Autovalori e autofunzioni. Rappresentazione modale. 

3. Discretizzazione degli operatori laplaciano e biarmonico con varie condizioni al contorno. Esempi in una e due dimensioni. Griglie cartesiane, accenni alle griglie polari in due dimensioni per problemi a geometria circolare. 

4. Interpolazione di Lagrange. Utilizzo di griglie cartesiane per problemi con geometria non rettangolare.

5. Calcolo numerico di autovalori e autofunzioni del laplaciano e biarmonico per problemi con e senza soluzione analitica. 

6. Propagazione delle onde. Modelli in una e due dimensioni. Equazione per cavi, barre, membrane, piastre. Acustica 2D, visualizzazione del campo acustico. 

7. Differenze finite temporali. Oscillatore armonico. Schemi espliciti ed impliciti. Errore di troncamento e distorsione in frequenza. Schema esatto. Applicazione ai problemi di propagazione delle onde. Stabilità.

8. Accenni a problemi nonlineari in acustica. Oscillatore di Duffing, equazione delle onde nonlineare. 

Il programma potrà subire variazioni in corso d'opera per adattarsi alle esigenze della classe.

Un video presentazione dell’insegnamento è disponibile attraverso i Link ad altre eventuali informazioni, a fondo pagina.

Testi/Bibliografia

Il docente produrrà delle dispense che serviranno come base per gli argomenti trattati a lezione. Altri testi consigliati

- Sul calcolo alle differenze finite:

• R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady State and Time Dependent Problems. SIAM, Philadelphia, USA, 2007.
• J. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. SIAM, Philadelphia, USA, 2004.
• S. Bilbao, Numerical Sound Synthesis. Wiley, Chichester, UK, 2009.

- Sulla dinamica dei sistemi.

• L. Meirovitch, Fundamentals of Vibrations. Waveland, Long Grove, USA, 2001.
• A. H. Nayfeh, Professor D. T. Mook, Nonlinear Oscillations. Wiley, Weinheim, Germany, 2004.

Metodi didattici

Lezioni frontali (3 ore/settimana).

Laboratorio Matlab (2 ore/settimana). Durante il laboratorio, gli studenti metteranno in pratica i principi di calcolo numerico visti durante la lezione.

In considerazione della tipologia di attività e dei metodi didattici adottati, la frequenza di questa attività formativa richiede la preventiva partecipazione di tutti gli studenti ai moduli 1 e 2 di formazione sulla sicurezza nei luoghi di studio, [https://elearning-sicurezza.unibo.it/] in modalità e-learning.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Gli studenti prepareranno un progetto in Matlab, che sarà oggetto di discussione con il docente durante l'esame orale. Durante l'esame, il docente accerterà la verifica dell'apprendimento con ulteriori domande di approfondimento. 

Strumenti a supporto della didattica

Dispense preparate dal docente. Demo in Matlab. Presentazioni in Powerpoint. Demo di misura di vibrazioni mediante accelerometri.

Link ad altre eventuali informazioni

https://youtu.be/r-vtQfrefZ8

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Michele Ducceschi