29690 - MECCANICA RAZIONALE T

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, e dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze fondamentali sulla modellizzazione fisico-matematica rigorosa dei sistemi meccanici partendo dalla meccanica newtoniana e giungendo allo schema lagrangiano-hamiltoniano della meccanica analitica. In particolare ha acquisito la capacità di costruire, confrontare ed utilizzare modelli matematici per sistemi meccanici con pochi gradi di libertà (quali punto materiale, corpo rigido, sistemi olonomi), di determinarne le proprietà di comportamento più rilevanti (sia in condizioni statiche che dinamiche) e di ricavarne corrette approssimazioni locali (linearizzazione).

Contenuti

PREREQUISITI: Sono richieste le conoscenze di base del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una e più variabili reali. Sono altresì utili le conoscenze di base della geometria euclidea e dell'algebra lineare.

PROGRAMMA

Richiami di calcolo vettoriale - Componenti cartesiane di un vettore. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Doppio prodotto vettoriale.Gradiente, divergenza, rotore. Generalità sulla teoria degli operatori matriciali.

Vettori applicati - Momento polare ed assiale di un vettore applicato. Sistemi di vettori applicati. Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati. Coppie. Invariante scalare. Asse centrale. Operazioni elementari. Riduzione di un sistema di vettori applicati e teoremi di riducibilità. Sistemi piani. Sistemi di vettori paralleli. Centro.

Cinematica del punto - Generalità sulla descrizione cinematica del moto di un punto. Velocità e accelerazione:  loro diverse rappresentazioni. Moti piani in coordinate polari. Alcune esempi di classi di moti significativi: moti centrali, moto di un grave.

Cinematica dei sistemi - Vincoli e loro classificazione. I sistemi olonomi. Gradi di libertà di un sistema olonomo. Coordinate generalizzate. Spazio delle configurazioni. Spostamenti possibili e virtuali dei punti di un sistema olonomo. Velocità di un sistema olonomo. Cenni sui vincoli anolonomi.

Cinematica dei sistemi rigidi - Corpo rigido e vincolo di rigidità. Riferimento solidale. Velocità angolare e formule di Poisson. Legge di distribuzione delle velocità, degli spostamenti e delle accelerazioni. Caratterizzazione dei moti rigidi. Angoli di Eulero. Formule di Eulero. Punto di vista lagrangiano ed euleriano. Atti di moto rigido e loro classificazione. Teorema di Mozzi.

Cinematica dei moti relativi - Inquadramento del problema. Derivata di un vettore rispetto a due osservatori (Teorema di derivazione relativa). Teorema di composizione delle velocità (Teorema di Galileo), delle accelerazioni (Teorema di Coriolis) e delle velocità angolari. Rotolamento e puro rotolamento di  curve rigide.

Moti rigidi piani - Generalità. Centro istantaneo di rotazione e proprietà ad esso connesse. Traiettorie polari (base e rulletta) e loro determinazione.

Geometria delle masse - Concetti di massa e densità. Baricentro di un sistema particellare e continuo. Teoremi relativi alle proprietà di ubicazione del baricentro. Momenti di inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Momento di inerzia rispetto ad assi concorrenti. Matrice di inerzia e sue proprietà. Problema agli autovalori. Assi principali di inerzia e loro determinazione.  Ellissoide di inerzia.

Cinematica delle masse - Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica. Teorema del baricentro. Sistema baricentrale e moto relativo al baricentro. Primo e secondo teorema di König. Rappresentazione della quantità di moto, momento della quantità di moto ed energia cinetica di un corpo rigido. La struttura della energia cinetica di un sistema olonomo.

Forze, Lavoro e Potenziale - Concetto di forza e lavoro. Lavoro elementare reale e virtuale. Lavoro di una forza lungo un cammino finito. Forze posizionali. Forze conservative e loro potenziale. Lavoro di una forza conservativa lungo un cammino finito. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di un sistema di forze applicate: a) ad un corpo rigido e b) ad un sistema olonomo.

Leggi della meccanica - Breve introduzione storica ai principi della meccanica classica. Principio di inerzia. Secondo principio della dinamica. Principio di azione e reazione. Struttura matematica del II° principio, ruolo delle condizioni iniziali e struttura deterministica della meccanica classica. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Principio di relatività di Galileo. Teorema delle forze vive, principio di conservazione della energia, integrali primi del moto con esempi del loro uso in ambito meccanico. Vari esempi di dinamica del punto materiale (oscillatore armonico, moti smorzati, moti forzati, pendolo semplice, moti in un campo di forze centrali, discussione del moto in sistemi non inerziali). Postulato delle reazioni vincolari. Equazioni cardinali della dinamica.

Statica del punto e dei sistemi - Attrito coulombiano e legge di Coulomb-Morin. Vincoli privi di attrito. Definizione di quiete e di equilibrio. Equilibrio di un punto e di un sistema. Equazioni cardinali della statica e discussione della loro necessità e sufficienza. Statica del punto con applicazioni (punto vincolato su una curva e su una superficie sia in assenza di attrito che con attrito, brevi cenni su alcuni problemi di statica relativa, forza centrifuga). Equilibrio del corpo rigido con applicazioni (corpo rigido con un punto fisso, con asse fisso, equilibrio di sistemi costituiti da più corpi rigidi, tecnica dello svincolamento, calcolo di reazioni vincolari in varie situazioni).

Principio dei lavori virtuali - Principio delle reazioni vincolari. Vincoli ideali. Vari esempi di vincoli ideali. Teorema dei lavori virtuali con dimostrazione. Sua formulazione nel caso di un sistema olonomo e conservativo ed anche in presenza di vincoli unilaterali.

Meccanica lagrangiana - Disuguaglianza variazionale della dinamica. Principio di D’Alembert. Equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange. Caso delle forze conservative (funzione lagrangiana). Integrali primi del moto in ambito lagrangiano. Cenno sulle equazioni di Lagrange nel caso di forze non conservative ed esempio della resistenza viscosa e funzione di dissipazione.

Stabilità e piccole oscillazioni - Criterio di stabilità di Ljapunov. Definizione statica di stabilità e studio del potenziale nelle configurazioni di equilibrio.Teorema di Lagrange-Dirichlet. Tecnica di linearizzazione delle equazioni del moto. Piccole oscillazioni di un sistema conservativo ad n gradi di libertà, frequenze caratteristiche di oscillazione. Coordinate normali.

 

Testi/Bibliografia

P.BISCARI, T. RUGGERI, G. SACCOMANDI, M. VIANELLO, Meccanica razionale per l'ingegneria. Ed. Springer (III edizione-2016);

F. BRINI, A. MURACCHINI, T. RUGGERI, L. SECCIA, Esercizi e temi d'esame di Meccanica razionale. Ed. Esculapio-Bologna.

Durante le lezioni saranno indicati siti web in cui è possibile reperire risorse utili allo svolgimento del corso e il docente distribuirà, on-line, materiale didattico integrativo.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali con spiegazione degli argomenti alla lavagna. Saltuariamente, nel caso di argomenti più complessi o che richiedano di presentare figure di tipo particolare, viene utilizzata la lavagna luminosa. Ad ogni lezione vengono indicate le pagine del testo di teoria consigliato e/o l'indirizzo di siti web in cui è possibile approfondire gli argomenti svolti. Parte consistente del corso è dedicata alla risoluzione di esercizi e alla presentazione di esempi che permettano di acquisire la capacità di tradurre in termini matematici gli "aspetti fisici" dei problemi tecnici più comuni.

N.B. Nel momento in cui si forniscono queste informazioni non è ancora superata la situazione di emergenza legata alla epidemia di coronavirus. Le informazioni sui metodi didattici non sono, quindi, definitive e sicure. Appena avrò indicazioni più precise sarà mia cura comunicarle in questo sito. 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame è articolata in due fasi: una prova scritta (tempo assegnato per la soluzione: 2 ore) e una successiva prova orale. Si accede alla prova orale solo se risulta superata la prova scritta. Se lo studente non supera la prova scritta, la può ripetere nella stessa sessione d'esame.

La prova scritta verte su un problema riguardante un sistema olonomo ad 1 o 2 gradi di libertà di cui, solitamente, si chiede di esaminare equilibrio, stabilità e proprietà generali del moto. La valutazione della prova scritta consiste in un giudizio (in ordine crescente: Gravemente insufficiente, Insufficiente, Quasi sufficiente, Sufficiente); si accede all'orale con ognuna di queste valutazioni ma il voto finale dell'esame è, comunque, legato alla valutazione ottenuta nella prova scritta.

La prova orale consiste nel rispondere, in forma scritta, a due domande di teoria (tempo assegnato 30 minuti). L' elaborato viene poi brevemente discusso insieme al docente. Al termine di questa prova si decide la valutazione finale che, ovviamente, tiene conto sia del risultato della prova scritta che di quella orale.

Testi delle prove scritte più recenti si possono trovare in questa stesso sito nella sezione "materiale didattico" in coda al programma del corso.

N.B. Nel momento in cui si forniscono queste informazioni non è ancora superata la situazione di emergenza legata alla epidemia di coronavirus. Le informazioni sulle modalità di svolgimento delle prove d'esame non sono, quindi, definitive e sicure. Appena avrò indicazioni più precise sarà mia cura comunicarle in questo sito.

Strumenti a supporto della didattica

Si forniscono indirizzi di siti internet in cui lo studente può approfondire alcuni degli argomenti svolti a lezione. Nella seguente pagina web  (http://www.dm.unibo.it/~muracchi/) si possono trovare appunti delle lezioni, i testi delle prove scritte d'esame più recenti ed altri ausili didattici.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~muracchi/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Augusto Muracchini