B9075 - TOPICS IN HOLOMORPHIC FUNCTION THEORY

Conoscenze e abilità da conseguire

A partire dalle nozioni di base della teoria delle funzioni olomorfe, il corso affronta alcuni argomenti più avanzati di tale teoria, in una o più variabili complesse.

Contenuti

Prerequisiti: 

il corso di analisi complessa del corso di laurea triennale, o corso equivalente presso altri atenei.

 

Contenuti del corso:

PRIMA PARTE (Professor Arcozzi): 

1. automorfismi del disco e del semipiano e relazione con la geometria iperbolica;

2. teorema di Montel e famiglie normali;

3. il teorema della mappa di Riemann, mettendo in luce diverse equivalenti definizioni di semplicemente connesso, l’indice di una curva, ecc.;

4. funzioni armoniche/subarmoniche, principio di riflessione e qualche cenno a Schwarz-Christoffel.

5. Nel tempo rimanente potrebbero essere affrontati uno o due dei seguenti argomenti:

-teorema di Charathéodory sull’estensione al bordo della mappa di Riemann per domini di Jordan;

-formula di Jensen e fattorizzazione

-Phragmén-Lindelof e qualche applicazione;

- equazione di Beltrami, deduzione che ogni metrica Riemanniana piana è localmente conforme a quella euclidea.

 

SECONDA PARTE (Professor Parmeggiani):

1. Funzioni olomorfe in piu` variabili, equazioni di Cauchy-Riemann
2. Formula di Cauchy in piu` variabili (caso generale di funzioni di classe C^1)
3. Serie di potenze in piu` variabili, espansione in serie di potenze delle funzioni olomorfe in C^n
4. Proprieta` delle funzioni olomorfe di piu` variabili (invertibilita` e funzioni implicite, definizione di sottovarieta` immersa olomorfa)
5. Domini di olomorfia
6. Il Teorema di Hartogs (utilizzando le PDE); il Lemma di Doulbeault-Grothendieck
7. Pseudoconvessita` e forma di Levi.
   

 

TERZA PARTE (Professoressa Lanzani):

1. Il polidisco in C^n, n\geq 2, non e’ biolomorfo alla palla (ovvero, in piu' variabili il teorema di Riemann e' falso)

2. Spazi di Hardy olomorfi e loro rappresentazione mediante la formula di Bochner-Martinelli

3. Formula di Cauchy-Leray e regolarità’ in L^p dell’integrale di Cauchy Leray per domini strettamente convessi/strettamente C-linearmente convessi i classe C^2 (e, tempo permettendo: classe C^{1,1})

4. Proiezione di Cauchy-Szego: definizione e proprietà’ elementari.

5. Operatore di Kerzman-Stein: definizione e proprietà’ principali

6. Regolarita’ in L^p della trasformata di Cauchy-Szego per domini strettamente pseudoconvessi di classe C^2.

 

 

 

Testi/Bibliografia

PRIMA PARTE (Professor Arcozzi):

L.V. Ahlfors Complex Analysis, 3^rd edition, McGrow Hill, 1978

M. Andersson, Topics in Complex Analysis, Springer Universitext, 2013

D. Sarason, Complex Function Theory, AmMathSoc, 2007

T. Tao, https://terrytao.wordpress.com/, note del corso 246A/B

 

SECONDA PARTE (Professor Parmeggiani):

L. Hörmander: An introduction to complex analysis in several variables. 3rd edition. North Holland Mathematical Library, Vol. 7. 1990.

J. Lebl: Tasty bits of several complex variables. May 20, 2025 (version 4.2).

V. Scheidermann: Introduction to the complex analysis in several variables. 2nd edition. Birkhäuser 2023.

 

TERZA PARTE (Professoressa Lanzani):

Range M.R., Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables, Springer 1986

Stein E. M., Boundary Behavior of Holomorphic Functions in Several Complex Variables, Princeton University Press 1972

Kerzman N. & Stein E.M., The Cauchy kernel, the Szego kernel, and the Riemann mapping function. Math. Ann. 236 (1978), no. 1, 85–93.

Kerzman N. & Stein E.M., The Szego Kernel in terms of the Cauchy-Fantappie’ kernels, Duke Math. J., 45 (1978) 197 - 224

Lanzani L. & Stein E. M., The Cauchy Integral in C^n for domains with minimal smoothness, Advances Math. {\bf 264} (2014) 776 -- 830.

Lanzani L. & Stein E. M., Hardy Spaces of Holomorphic functions for domains in Cn with minimal smoothness, Harmonic Analysis, Partial Differential Equations, Complex Analysis, and Operator Theory: Celebrating Cora Sadosky’s life, AWM-Springer vol. 1 (2016), 179 - 200.

Lanzani L. & Stein E. M., The Cauchy-Szeg ̋o projection for domains with minimal smoothness, Duke Math. J. 166 no. 1 (2017), 125-176.

Metodi didattici

Lezioni in presenza.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Ciascuno studente sara' valutato per via orale in tre brevi colloqui con ciascuno dei tre docenti (ca. 15-20min) con data e luogo accordati con ciascun docente in separata sede.

Ciascuno dei tre docenti assegnera' una propria valutazione; il voto finale sara' la media delle tre arrotondata per eccesso (con la regola che 30L in un modulo vale 31 ai fini del calcolo della media).

Studenti/sse con DSA o disabilità temporanee o permanenti: si raccomanda di contattare per tempo l’ufficio di Ateneo responsabile (https://site.unibo.it/studenti-con-disabilita-e-dsa/it): sarà sua cura proporre agli/lle studenti/sse interessati/e eventuali adattamenti, che dovranno comunque essere sottoposti, con un anticipo di 15 giorni, all’approvazione del/della docente, che ne valuterà l'opportunità anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento.

Strumenti a supporto della didattica

Ricevimento su richiesta, previo appuntamento.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Loredana Lanzani

Consulta il sito web di Nicola Arcozzi

Consulta il sito web di Alberto Parmeggiani