B9054 - TOPOLOGIA GEOMETRICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Alla fine del corso, lo studente acquisisce le nozioni di base della topologia geometrica. Lo studente apprende come studiare la topologia e la geometria delle varietà attraverso le proprietà algebriche dei loro gruppi fondamentali e, viceversa, come dedurre proprietà algebriche di gruppi attraverso le loro azioni su spazi topologici e lo studio di invarianti geometrici ad esse associati.

Contenuti

La topologia geometrica si propone di studiare le varietà e le mappe fra di loro, ad esempio tramite embedding di una varietà dentro un’altra. In questo corso ci focalizziamo sullo studio della topologia delle varietà in dimensione bassa, ossia di dimensione minore o uguale a 3.

Prima di studiare nel dettaglio le varietà, introdurremo la nozione di gruppi di omotopia d’ordine superiore che permettono di classificare le varietà a meno di omotopia. Tuttavia, poiché i gruppi di omotopia d’ordine superiore sono estremamente difficili da calcolare, introdurremo la nozione di varietà asferica, ossia quelle varietà per cui i gruppi di omotopia d’ordine superiore sono tutti banali. A questo punto iniziamo lo studio dettagliato delle varietà dal punto di vista topologico-geometrico. Per prima cosa, attraverso la teoria degli incollamenti dei manici (e la teoria di Morse), classificheremo le superfici chiuse. Successivamente cercheremo di studiare la “geografia” delle 3-varietà ossia cercheremo di descrivere esplicitamente alcune 3-varietà. Particolare enfasi verrà data alla relazione con il loro gruppo fondamentale. Alcune parole chiave sono decomposizione di Heegaard, spazi lenticolari e varietà di Seifert, fibrati, decomposizione in varietà prime e decomposizione JSJ.

Se il tempo lo permetterà, verranno introdotti degli invariati per varietà introdotti da Gromov.

Prerequisiti:

Al fine di poter apprezzare i contenuti del corso è consigliabile che gli studenti conoscano la definizione di gruppo fondamentale, la teoria dei rivestimenti e la definizione di varietà differenziabile.

Inoltre, durante il corso useremo la nozione di omologia: gli studenti che non hanno avuto l'opportunità di studiare l'omologia in un corso precedente possono imparare in autonomia tale nozione durante il corso (o prima del suo inizio) leggendo i capitoli indicati in calce.

Alcuni riferimenti bibliografici che possono essere usati come riferimento per i prerequisiti sono:

• Allen Hatcher - "Algebraic topology" (disponibile online). I Capitoli 1.1, 1.2 e 1.3 contengono la teoria del gruppo fondamentale e dei rivestimenti. I Capitoli 2.1 e 2.2 trattano la nozione di omologia.
• John M. Lee - "Introduction to smooth manifolds". Il Capitolo 1 contiene la definizione di varietà differenziabile ed alcuni esempi. Il Capitolo 2 tratta delle mappe lisce fra varietà differenziabili.

Testi/Bibliografia

Libri di 3-varietà e topologia geometrica:

• Bruno Martelli - "An introduction to Geometric Topology" (disponibile online);
• Allen Hatcher - "Notes on basic 3-manifolds topology" (disponibile online);

• Jennifer Schultens - "Introduction to 3-manifolds".

Libri di topologia (algebrica):

• Allen Hatcher - "Algebraic topology" (disponibile online);
• Stefan Friedl - "Topology" (disponibile online nella versione "Full topology lecture notes").

Libri di teoria di Morse:

• John Milnor - "Morse Theory".

Libri su varietà differenziali e Riemanniane:

• John M. Lee - "Introduction to smooth manifolds";
• John M. Lee - "Introduction to Riemannian manifolds".

Libri di topologia differenziale:

• Riccardo Benedetti - "Lectures on differential topology" (disponibile online);
• John Milnor - "Topology from a differentiable point of view".

 

Metodi didattici

Il corso consiste in 48 ore di didattica frontale. Ogni nuovo argomento di teoria verrà presentato assieme a numerosi esempi e controesempi in modo da facilitare l'apprendimento.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Gli studenti possono scegliere di sostenere l'esame in uno dei due modi seguenti:

• Esame orale classico su tutto il programma svolto nel corso;
• Esame orale a seminario. Il seminario dalla durata approssimativa di 30 minuti (60 minuti se svolto in coppia) verterà su argomenti complementari e di approfondimento rispetto a quanto visto a lezione. Un elenco dei seminari possibili verrà comunicato agli studenti interessati durante il corso.
  
  

Strumenti a supporto della didattica

Gli studenti possono venire a ricevimento (su appuntamento) per discutere sia aspetti della teoria del corso sia riguardati l'argomento del seminario.

Alle Studentesse e agli Studenti con DSA o disabilità temporanee o permanenti si raccomanda di contattare per tempo l’ufficio di Ateneo responsabile, all'indirizzo (https://site.unibo.it/studenti-con-disabilita-e-dsa/it). Sarà cura dell'ufficio proporre eventuali adattamenti, che dovranno comunque essere sottoposti, con un anticipo di 15 giorni, all’approvazione del docente, che ne valuterà l'opportunità anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Marco Moraschini