16314 - ANALISI MATEMATICA B

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo Studente conosce gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

 

LO SPAZIO EUCLIDEO Rⁿ

La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Sfere aperte. Insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati, insiemi compatti, sottoinsiemi di Rⁿ connessi per archi.

LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE

Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali. Punti di accumulazione. Limite di una funzione. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili. Derivata parziale e derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C¹. Regola della catena. Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Estremi di una funzione. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Teorema del valor medio di Lagrange. Teorema di Fermat.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali. Teoremi di esistenza, unicità e prolungamento delle soluzioni. Metodi di risoluzione per equazioni differenziali non lineari a variabili separabili, per equazioni differenziali lineari del primo ordine, per equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

INTEGRALI MULTIPLI

Definizione di integrale doppio di Riemann per funzioni definite su un dominio normale. Proprietà dell’integrale doppio. Integrali doppi su domini normali calcolati mediante integrali iterati. Teorema del cambiamento di variabili per l’integrale doppio. Generalizzazioni agli integrali tripli.

 

INTEGRALI DI CURVA E DI SUPERFICIE

Curve regolari e a tratti regolari, lunghezza di una curva, integrale di una funzione lungo una curva. Integrale di un campo vettoriale lungo una curva orientata. Campi vettoriali irrotazionali e conservativi: determinazione dei potenziali.

Teorema di Poincaré su insiemi semplicemente connessi. Teorema di Green-Gauss, teorema della divergenza, formula di Stokes.

 

Testi/Bibliografia

Teoria:

 

Dispense scritte al computer online su Virtuale.

 

Testi di riferimento per le dispense:

 

1) E. Giusti- Analisi Matematica 2, Terza Edizione, Bollati Boringhieri editore.

2) Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Elementi di Analisi Matematica due. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea. Liguori Editore

3) - G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht, Elementi di Analisi Matematica (Vol 2), Zanichelli, 2015.

 

 

Esercizi:

 

E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica (Vol. 2), Bollati Boringhieri, 1992.

 

Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Esercitazioni di matematica Volume II, Parte prima e seconda. Liguori Editore

 

 

 

Metodi didattici

Il corso di Analisi Matematica B si svolge al secondo semestre e rappresenta la seconda parte del corso integrato di Analisi Matematica (12 cfu). Il corso di Analisi Matematica B  è strutturato in lezioni frontali in aula, in cui vengono presentati innanzitutto gli aspetti teorici degli argomenti trattati. In particolare, dopo aver introdotto le nozioni di base, vengono enunciati e dimostrati i principali teoremi e risultati nell’ambito del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali e le equazioni differenziali ordinarie. Successivamente ampio spazio viene dedicato alla risoluzione di esercizi.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

 

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso una prova, alla quale si accede se si è superata la prova scritta di Analisi Matematica A in un appello dello stesso anno.

 

Tecnicamente la prova  di Analisi B è strutturata in due parti, una di teoria ed una esercizi, entrambe scritte, da superarsi in sequenza.

 

Una volta superata la prova, gli studenti potranno richiedere un esame orale integrativo per migliorare il voto. 

 

Per partecipare alla prova è necessario iscriversi nelle liste disponibili sul sistema AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/] con almeno 3 giorni di anticipo.

 

Il voto relativo all’esame dell’intero corso integrato di Analisi Matematica viene calcolato come media aritmetica delle votazioni riportate nei due moduli di Analisi Matematica A e Analisi Matematica B. La prova scritta di Analisi A è valida 12 mesi. Nel caso di più voti per ciascun modulo, verrà considerato solo il voto più recente.

E' facoltà dello studente verbalizzare il voto media o ripetere la prova. Una volta svolto l'esame, i voti verranno caricati sulle piattaforme preposte (almaesami /virtuale) e verrà dato un tempo di almeno una settimana per rifiutare il voto, oltre il quale l'esame è da reputarsi accettato ed il voto ricevuto è da reputarsi confermato, anche in caso vi sia un voto migliore antecedente. 

Strumenti a supporto della didattica

Dispense del docente in virtuale [https://virtuale.unibo.it/].

 

Ricevimento studenti (il Martedì pomeriggio in presenza od online, su appuntamento)

 

Esercizi del Tutor.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simone Ciani