31586 - COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA ED ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ T

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza di base relativa al calcolo di funzioni di più variabile reali (proprietà, massimi e minimi) curve, potenziali, integrali multipli, loro significato, soluzione di alcuni tipi semplici di equazioni differenziali. Inoltre verranno affrontate le nozioni elementari di probabilità, con particolare riferimento ad alcune distribuzioni nel continuo (distribuzioni uniforme e normale).

Contenuti

 

• Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:
  • Introduzione Elementi di topologia in R^n. Funzioni da R^n in R^m (n,m=1,2,3). Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
  • Funzioni in più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni in più variabili a valori reali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Hessiano. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente.
  • Calcolo differenziale per funzioni in più variabili a valori vettoriali. Jacobiano. Composizione di funzioni: teorema dello Jacobiano della funzione composta.
• Applicazioni del calcolo differenziale:
  • Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie o sufficienti per funzioni C^2.
  • Massimi e minimi vincolati: funzione Lagrangiana, condizioni necessarie perché un punto sia estremante vincolato con vincolo uno o due dimensionale nello spazio
    
• Misura e integrazione per funzioni in più variabili Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio di Cavalieri. Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.

• Integrali generalizzati di una e più variabili per funzioni non limitate in un intorno di uno o più punti e per funzioni su insiemi non limitati, criteri di integrabilità

 

• Serie numeriche: definizione e criteri di convergenza, convergenza assoluta e relazione con l'integrale generalizzato per funzione di una variabile

• Elementi di Calcolo delle Probabilità (30h)

  1. Spazi di probabilità
     Misura di probabilità; probabilità condizionata e indipendenza, formula delle probabilità totali, formula di Bayes; calcolo combinatorio.
  2. Modelli discreti
     Variabili aleatorie discrete e principali distribuzioni: di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson; funzione di ripartizione; valore atteso; varianza.
  3. Modelli continui
     Variabili aleatorie assolutamente continue; densità e funzione di ripartizione; valore atteso; varianza. Esempi: variabili aleatorie uniformi, normali ed esponenziali. Teorema del limite centrale.
  
  

Testi/Bibliografia

 

Robert A. Adams: Calcolo differenziale 2 - Casa Editrice Ambrosiana distribuzione Zanichelli 2014

Introduzione alla probabilità: sono sufficienti le dispense del corso pubblicate su Virtuale.

Per approfondimenti: 

S.M. ROSS, Probabilità e statistica per l'Ingegneria e le Scienze, Ed. APOGEO

H. Hsu, Probabilità, variabili casuali e processi stocastici, ed. McGraw-Hill Italia.

P. Erto, Probabilità e statistica per le scienze e l'ingegneria 3/ed, ed. McGraw-Hill Italia.

Metodi didattici

 

Lezioni ed esercitazioni frontali - Studenti/sse con DSA o disabilità temporanee o permanenti: si raccomanda di contattare per tempo l’ufficio di Ateneo responsabile ( https://site.unibo.it/studenti-con-disabilita-e-dsa/it): sarà sua cura proporre agli/lle studenti/sse interessati/e eventuali adattamenti, che dovranno comunque essere sottoposti, con un anticipo di 15 giorni, all’approvazione del/della docente, che ne valuterà l'opportunità anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame si svolge in forma scritta e consta di esercizi e quesiti di teoria a risposta multipla e/o aperta da sostenere nella stessa prova. E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami.

La prova ha la durata complessiva di 2 ore e trenta minuti. Consiste in:

1) una domanda di teoria in Analisi Matematica (durata 30 minuti); punteggio max 6. Durante questa parte lo studente può usare solo la penna. Qualunque dispositivo elettronico, gli appunti o altro materiale del corso non può essere utilizzato pena l'annullamento della prova. Il quesito teorico è uno dei quesiti pubblicati su Virtuale.

2) esercizi di analisi matematica e di teoria della probabilità (durata 2 h) : verranno consegnati due fogli, uno contente gli esercizi di analisi matematica e l'altro contenente gli esercizi di probabilità. Durante questa prova gli studenti possono utilizzare dispense, libri, appunti cartacei. E' proibito l'uso di qualunque dispositivo elettronico pena l'annullamento della prova.

a) Esercizi di Analisi (punteggio massimo 15) così suddivisi:

i) classificazione di punti critici liberi (max punti 6). Lo studente deve risolvere l'esercizio dettagliatamente.

ii) 3 esercizi a risposta multipla (per ciascun quesito: 3 punti per risposta corretta, 0 punti per risposta non data, -0,2 risposta sbagliata). Gli esercizi riguardano il calcolo di un integrale multiplo, studio di una serie numerica eventualmente dipendente da un parametro e derivata direzionale.

b) esercizi di probabilità (max 12 punti): 2 o 3 quesiti. Ciascuno diviso in più parti (risposte chiuse e/o aperte) su utilizzo delle tabelle della variabile normale, applicazioni del programma a risoluzioni di semplici esercizi che riguardanti variabili aleatorie discrete e/o continue.

La prova si intende superata se lo studente ottiene:

1) almeno 2 punti nel quesito di teoria di analisi matematica;

2) almeno 4 punti nella parte riguardante gli esercizi di probabilità;

3) la somma di tutti i punteggi è almeno 18.

Se valgono 1) 2) e 3), allora il voto finale è la somma dei punteggi. Se lo studente ha un voto maggiore o uguale a 31  il voto finale è 30L.

  Se lo studente non supera un esame, ripete l'intero esame a un appello successivo.

Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli.

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

 

 

 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Grammatico Cataldo [https://www.unibo.it/sitoweb/cataldo.grammatico]

Consulta il sito web di Abenda Simonetta [https://www.unibo.it/sitoweb/simonetta.abenda]

 

Strumenti a supporto della didattica

Su virtuale sono altresì pubblicati alcuni testi tipo d'esame relative alla parte di Analisi Matematica.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Cataldo Grammatico

Consulta il sito web di Simonetta Abenda