72764 - NUMERICAL METHODS

Conoscenze e abilità da conseguire

The aim of this course is to provide students with both the theoretical knowledge and practical skills required to recognize, analyze and solve numerically on the computer some classes of mathematical problems naturally arising from modelling of physical systems subject to simulation/design in civil engineering. Students will acquire knowledge in the following areas: (1) fundamentals of numerical analysis, such as types of numerical errors, machine numbers, posedness and conditioning of mathematical problems, convergence, stability, accuracy and (spatial and temporal) efficiency of numerical methods; (2) numerical solution of systems of linear equations; (3) numerical solution of non-linear equations and systems of non-linear equations; (4) numerical interpolation and approximation (fitting) of data and functions; (5) numerical differentiation and integration (quadrature) of functions; (6) numerical solution of (linear) differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, with focus on the finite difference method and some mention of the finite element method. The main skills developed during this course include: (1) proficiency in recognizing classes of mathematical problems, analyzing them from posedness and conditioning point of views and, hence, predicting the difficulty of their numerical solution; (2) ability to choose the numerical method suitable for the solution of some classes of mathematical problems in accordance with the desired accuracy-efficiency tradeoff; (3) software competence: hands-on experience with using Matlab software and its programming language to implement algorithms and, in particular, numerical methods; (4) analytical and critical thinking: enhanced ability both to figure out the numerical algorithms running at the core of widely used simulation /design softwares in civil engineering, and to interpret their outputs from the numerical perspective. The course contributes to the objectives of the master's program by completing and complementing the theoretical mathematical preparation acquired by students during the bachelor’s degree with the knowledge and ability to solve numerically (on the computer) classes of mathematical problems of interest to civil engineering.

Contenuti

Il corso comprende due moduli, modulo 1 e modulo 2.

REQUISITI

Un fluente inglese parlato e scritto costituisce prerequisito necessario: tutte le lezioni, i tutorial, i documenti di riferimento e le presentazioni saranno in inglese.

Una buona conoscenza preliminare di Calcolo, Geometria e Algebra lineare costituisce un prerequisito desiderabile.

CONTENUTI DEL MODULO 1:

• Concetti chiave di Analisi Numerica: accuratezza, precisione, errori di approssimazione e troncamento, numero di condizionamento, convergenza e stabilità, efficienza computazionale.

• Algebra Lineare Numerica: metodi diretti ed iterativi per la soluzione numerica di sistemi di equazioni lineari.

• Metodi iterativi per la soluzione numerica di singole equazioni non-lineari e di sistemi di equazioni non-lineari.

• Interpolazione ed Approssimazione numerica di funzioni e dati: metodi numerici per il calcolo di polinomi algebrici di Interpolazione e di Approssimazione, fitting ai minimi quadrati.

• Differenziazione Numerica: approssimazione numerica alle differenze finite di derivate ordinarie e derivate parziali.

• Integrazione Numerica (quadratura): formule di quadratura di Newton-Cotes (semplici e composite) e di Gauss (semplici).

• Esercizi sui precedenti argomenti: soluzione attraverso l'implementazione in Matlab dei metodi numerici richiesti.

CONTENUTI DEL MODULO 2:

• Soluzione numerica di Equazioni Differenziali Ordinarie  (ODEs): problemi ai valori iniziali.

• Soluzione numerica di Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDEs) attraverso il Metodo alla Differenze Finite:

  - PDEs Ellittiche: l'equazione di Poisson/Laplace
  

 - PDEs Paraboliche: l'equazione del calore

         - PDEs Iperboliche: l'equazione del trasporto (avvezione)

• Esercizi sui precedenti argomenti: soluzione attraverso l'implementazione in Matlab dei metodi numerici richiesti.

 

Testi/Bibliografia

Il materiale didattico fornito durante il corso (slides, esercizi e soluzioni, codici sorgenti Matlab,...) sulla piattaforma di e-learning dell'Università di Bologna ( https://virtuale.unibo.it ) é sufficiente per la adeguata comprensione degli argomenti trattati.

Tuttavia, gli argomenti del corso possono essere opzionalmente approfonditi tramite la lettura di numerosi libri di Analisi Numerica, quali, ad esempio:

Per la prima parte del corso:

- A. Quarteroni, F. Saleri and P. Gervasio, Scientific Computing with Matlab and Octave (4th Edition), Springer, 2014.

- A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri, Numerical Mathematics (2nd Edition), Springer, 2007.

Per la seconda parte del corso:

- A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems (3rd Edition), Springer, 2017.

Metodi didattici

Lezioni frontali supportate dall'utilizzo di presentazioni Powerpoint e della lavagna, e lezioni in Laboratorio informatico utilizzando il software Matlab. Durante le lezioni in laboratorio saranno svolte esercitazioni in parte guidate dal docente ed in parte svolte (individualmente o in gruppo) dagli studenti. I risultati delle esercitazioni saranno analizzati in aula ed eventualmente discussi durante l'esame orale finale.

In considerazione della tipologia di attività e dei metodi didattici adottati, la frequenza di questa attività formativa richiede la preventiva partecipazione di tutti gli studenti ai Moduli 1 e 2 di formazione sulla sicurezza nei luoghi di studio ( https://elearning-sicurezza.unibo.it/ ) in modalità e-learning.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Gli esami per i due moduli del corso sono indipendenti. Gli studenti possono sostenerli in date diverse. Il voto finale sarà calcolato come media (arrotondata per eccesso) dei due voti. Per ottenere un voto finale sufficiente, è necessario ottenere un voto sufficiente in entrambe le parti. In ogni parte, per conseguire la sufficienza, gli studenti devono dimostrare una conoscenza dei concetti chiave degli argomenti trattati, una certa capacità di applicazione critica e un uso comprensibile del linguaggio tecnico. Viene assegnato un voto negativo se gli studenti mostrano lacune nella conoscenza dei concetti chiave, un uso inappropriato del linguaggio e/o errori logici nell'analisi della materia.

Si svolgeranno due esami di midterm, uno alla fine della prima parte del corso (modulo 1), uno alla fine della seconda (modulo 2). Entrambi gli esami di midterm saranno scritti e costituiti da domande teoriche ed esercizi da risolvere al calcolatore usando Matlab (durata dell'esame tra le 3 e le 4 ore), e la sufficienza ed il voto massimo per ciascun esame sarànno di 18 e di 33 punti, rispettivamente. I voti sufficienti (maggiori o uguali a 18) conseguiti dagli studenti nei due midterm saranno validi per la sessione d'esame di Gennaio / Febbraio 2025.

Per ciascuno dei due moduli, l'esame finale sarà in forma (prevalentemante) orale, con domande di teoria, discussione degli esercizi di laboratorio svolti durante il corso e possibile assegnazione/richiesta di soluzione di nuovi esercizi (durata dell'esame tra mezz'ora e 45 minuti, approssimativamente).

Sia gli esami di midterm che quelli finali mirano a valutare la conoscenza da parte dello studente dei concetti chiave e delle procedure illustrate durante i moduli didattici, oltre che la loro comprensione critica.

Strumenti a supporto della didattica

Slides (ed eventualmente appunti) ed esercizi dal docente, ed altro materiale in formato elettronico (file sorgenti Matlab, etc.). Il materiale didattico sarà reso disponibile sulla piattaforma di e-learning dell'Università di Bologna ( https://virtuale.unibo.it ).

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Alessandro Lanza