27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile.

Contenuti

Contenuti Modulo 1

Introduzione. Cenni di logica e di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali e reali. Estremo superiore e inferiore. Proprietà qualitative delle funzioni. 

Numeri complessi. Definizione e operazioni sui numeri complessi. Radici n-esime di un numero complesso

Limiti di successioni. Definizione di successione di numeri reali convergente e divergente. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teoremi di confronto, l'algebra dei limiti. Successioni monotone e loro limiti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio di convergenza. 

Funzioni di variabile reale. Generalità, Funzione composta e funzione inversa. Teorema sull'invertibilità di una funzione monotona (senza dimostrazione). Definizione di limite. Unicità del limite. Limite destro e sinistro. Teorema di collegamento: equivalenza fra le definizioni di limite per intorni e per successioni. L'algebra dei limiti. Teoremi del confronto. Funzioni limitate e monotone. Limiti per funzioni monotone. Funzioni continue. Prime proprietà delle funzioni continue. Composizione di funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue.

Calcolo differenziale. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Legame tra derivabilità e continuità. Derivate di somme, prodotti e quozienti di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivata delle funzioni elementari. Estremanti locali. Punti critici. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Funzioni differenziabili su intervalli e monotonia. Derivate di ordine superiore. Determinazione di estremanti o flessi mediante derivate successive. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Funzioni convesse.

Contenuti Modulo 2

Calcolo integrale. Definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Condizioni sufficienti di integrabilità. I teoremi di integrazione per sostituzione e di integrazione per parti.

Integrali generalizzati: definizioni, convergenza assoluta, criterio del confronto.

Serie Numeriche. Definizioni di serie convergenti, divergenti oscillanti. Criteri del confronto, della radice, del rapporto. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.

 

Testi/Bibliografia

Testi per la parte teorica

• G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht, Elementi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.

Altri testi consigliati

• P.Marcellini, C.Sbordone. Elementi di Analisi Matematica Uno,
  Liguori Editore.
• M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli Editore.
• E.Giusti. Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri Editore.
• E.Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 1, Pitagora

Eserciziari consigliati

• P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica - I vol.,
  Liguori Editore.
• S.Salsa, A.Squellati. Esercizi di Analisi matematica Vol. 1,
  Zanichelli Editore.
• E.Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica,
  Bollati Boringhieri Editore.

Altro materiale didattico sarà pubblicato su VIrtuale

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alle proprietà delle funzioni di variabile reale. Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi ed esercizi 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante un esame suddiviso in due parti:

- una prima prova scritta contenente esercizi,

- una seconda prova di teoria, che contiene domande scritte e una discussione con il docente.

La valutazione delle due prove porta ad un voto finale in trentesimi, che è il voto finale dell'esame.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (qualora assegnato)

Durante lo svolgimento del corso saranno disponibili esercizi proposti o note sul sito ''VIRTUALE'' https://virtuale.unibo.it/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giovanna Citti

Consulta il sito web di Berardo Ruffini