- Docente: Paolo Foschi
- Crediti formativi: 6
- SSD: SECS-S/01
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Lezioni in presenza (totalmente o parzialmente)
- Campus: Rimini
- Corso: Laurea Magistrale in Scienze statistiche, finanziarie e attuariali (cod. 6812)
-
dal 09/02/2026 al 16/03/2026
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso lo studente conosce i fondamenti della teoria dei processi aleatori con particolare riferimento alle applicazioni in ambito attuariale e finanziario. In particolare, lo studente è in grado di: - trattare alcuni fra i più importanti tipi di processi fra cui le catene di Markov, i processi di Poisson, i processi di nascita e morte e il moto Browniano; - applicare la modellistica di cui sopra alle applicazioni tipiche tramite esercizi sia teorici sia numerici.
Contenuti
- Richiami di probabilità.
Spazi di probabilità; Variabili aleatorie;Valore atteso; Indipendenza; Distribuzioni e attese condizionate; Proprietà di valore atteso e varianza (condizionate e non); Funzioni generatrici dei momenti; Alcune distribuzioni notevoli: Bernouilli, Poisson, Esponenziale, Gamma, Compound Poisson.
- Catene di Markov a tempo discreto.
Matrice di Transizione e distribuzione degli stati. Catene omogenee. Equaioni di Chapman-Kolmogorov. Calssificazione degli stati: Stati persistenti e transienti. Probabilità di primo passaggio e tempo di primo passaggio. Tempo medio di ritorno. Stati nullo-persistenti. Stati periodici. Esempi. Stati comunicanti e intercomunicanti. Insieme di stati Chiuso e insieme di stati Irriducibile. Teoremadi decomposizione. Distribuzioni stazionarie ed ergodicità. Catene di Markov con spazio degli stati finito. Matrici non-negative, matrici stocastiche e matrici non-negative regolari. Decomposizione in autovalori autovettori di una matrice di transizione e Teorema di Perron-Frobenious.
- Processi di Poisson, Compound Poisson e applicazioni.
Introduzione a tempo discreto: processo per il numero dei sinistri, processo per il danno totale, riserve e problema della rovina.
Un modello a tempo continuo per il danno totale. Tempi di arrivo e di attesa dei sinistri. Risarcimento totale. Premi e riserva iniziale. Evento Rovina. Processo del massimo.
Processi ad incrementi indipendenti e processi a incrementi stazionari.
Il processo di Poisson omogeneo. Cinque definizioni equivalenti per il processo di Poisson. Intensità, tempi di arrivo, tempi di attesa, numero dei sinistri, distribuzione di Poisson. Simulazione traiettorie di processi di Poisson. Proprietà di sovrapposizione.
Processo di Poisson composto (compound Poisson) e processo Poisson composto con trend.
Problema della rovina; condizione di profitto netto; coefficiente di aggiustamento di Cramér-Lundberg; Diseguaglianza di Lundberg. Il caso particolare con risarcimenti Gamma (ed esponenzial) distribuiti.
Valutazione di Obbligazioni con rischio di controparte (default). Il processo di Poisson non-omoegeneo (cenni).
Testi/Bibliografia
Probability and Random Processes, G.R. Grimmett and D.R. Stirzaker, 4th Edition, Oxford university Press, 2020
Non-Life Insurance Mathematics, an Introduction with Stochastic Processes, T. Milkosch. Springer-Verlag, 2004.
Metodi didattici
- Lezioni frontali ed esempi di simulazione al calcolatore
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
Esame scritto di 2 ore che si compone di domande teoriche ed esercizi.
Strumenti a supporto della didattica
* Slides e note del professore
* Esercizi risolti
* Esempi di programmi per la simulazione dei processi studiati
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Paolo Foschi