96768 - TORIC GEOMETRY AND APPLICATIONS

Conoscenze e abilità da conseguire

At the end of the course, students have a firm knowledge of the geometry of toric varieties and they know some of their applications. In particular, they understand the connection between toric varieties and combinatorics. They are able to use this knowledge in their research and for the construction of mathematical models.

Contenuti

La geometria torica è lo studio delle varietà toriche, che sono un particolare tipo di varietà algebriche costruite in modo combinatorico a partire da degli oggetti della geometria discreta come politopi o coni. C'è un ricchissimo dizionario che traduce proprietà algebro-geometriche di una varietà torica in proprietà del loro avatar combinatorio. Questo ha reso il contesto delle varietà toriche un utile banco di prova per testare congetture in geometria algebrica. Viceversa, la potenza della geometria algebrica ha permesso di dimostrare risultati in combinatoria, utilizzando le varietà toriche.

Nel corso verrà data un'introduzione alle varietà toriche: varietà toriche affini costruite a partire da coni, varietà toriche astratte costruite a partire da ventagli, proprietà (orbite, compattezza, liscezza), varietà toriche proiettive costruite a partire da politopi, alcuni invarianti topologici/geometrici delle varietà toriche (gruppo fondamentale, coomologia singolare). Nell'ultima parte si daranno delle applicazioni delle varietà toriche alla combinatoria; a seconda degli interessi dell'uditorio, si discuterà del pacchetto Kähler associato a un matroide, secondo i lavori di Adiprasito-Huh-Katz, e/o anche di teoria di Ehrhart.

 

Prerequisiti:

• corsi obbligatori di algebra e geometria della laurea triennale (in particolare: topologia e gruppo fondamentale, anelli di polinomi e loro ideali)
• rudimenti di topologia algebrica (in particolare: omologia e coomologia singolare)
• rudimenti di geometria algebrica (in particolare: chiusi di Zariski in uno spazio affine o proiettivo, su un campo algebricamente chiuso)

Non sono richiesti argomenti avanzati di geometria algebrica (come schemi, fasci localmente liberi / invertibili, fibrati, divisori), né argomenti di algebra commutativa.

Testi/Bibliografia

Cox, Little, Schenck, Toric varieties, Graduate Studies in Mathematics, vol. 124, American Mathematical Society.

Fulton, Introduction to toric varieties, Annals of Mathematics Studies, vol. 131, Princeton University Press.

Altri testi per la consultazione:

Oda, Convex bodies and algebraic geometry, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 15, Springer-Verlag.

Cox, What is a toric variety?, Topics in algebraic geometry and geometric modeling, 2003, pp. 203–223.

Kempf, Knudsen, Mumford, Saint-Donat, Toroidal embeddings 1, Lecture Notes in Mathematics, volume 339, Springer.

C. Eur, Essence Of Independence: Hodge Theory Of Matroids Since June Huh, sezione 4.

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna. Occasionalmente qualche esercitazione al computer utilizzando qualche software di algebra computazionale che gestisce le varietà toriche.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esercizi per casa da consegnare durante il semestre. Esame orale finale.

 

 

Studenti/sse con DSA o disabilità temporanee o permanenti: si raccomanda di contattare per tempo l’ufficio di Ateneo responsabile (https://site.unibo.it/studenti-con-disabilita-e-dsa/it ): sarà sua cura proporre agli/lle studenti/sse interessati/e eventuali adattamenti, che dovranno comunque essere sottoposti, con un anticipo di 15 giorni, all’approvazione del/della docente, che ne valuterà l'opportunità anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Roberto Pagaria

Consulta il sito web di Andrea Petracci