B5551 - ANALISI MATEMATICA 2B

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha ulteriori più avanzate conoscenze dell'Analisi Matematica. Conosce la teoria della misura e dell’integrale secondo Lebesgue, le serie di funzioni, gli integrali curvilinei e le 1-forme differenziali. Lo studente sa applicare tali conoscenze alla soluzione di semplici problemi pratici, posti dalle scienze pure ed applicate.

Contenuti

Integrale di Lebesgue: Misura esterna; misurabilità nel senso di Carathéodory. Monotonia e sub-additività. Misura esterna e misura di Lebesgue in 𝑅^𝑁

Funzioni misurabili; Funzioni semplici. Definizione di integrale (nel senso di Lebesgue); sommabilità. Proprietà generali dell'integrale. Teoremi di Riduzione di Tonelli e di Fubini (nello spazio e su insiemi qualunque). Teorema del cambiamento di variabile nell'integrale di Lebesgue. Teorema della Convergenza Monotona di Beppo Levi. Lemma di Fatou; Teorema della Convergenza Dominata di Lebesgue.

Integrale curvilineo e delle 1-forme: Nozioni di base sui cammini parametrizzati. Rettificabilità e lunghezza di un cammino. Lunghezza di curve C1. 1-forme differenziali e campi di vettori: integrale curvilineo. Campi conservativi e irrotazionali (oppure 1-forme esatte e chiuse e relazioni. Teorema fondamentale del Calcolo per l'integrale curvilineo. Insieme stellato e Teorema di Poincaré.

Cenni agli integrali di superficie in R^3, al Teorema della divergenza (in R^2 e R^3), al Teorema di Stokes (in R^3).

Successioni e serie di funzioni: Successioni di funzioni; convergenza puntuale e uniforme. La convergenza uniforme preserva: la Riemann-integrabilità; la continuità. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Convergenza totale per le serie di funzioni. Convergenza di tipo 𝐶^1. Serie di potenze. Teorema di Cauchy-Hadamard. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Cenni: funzioni reali analitiche.

Testi/Bibliografia

Saranno disponibili degli appunti sulla piattaforma Virtuale [http://virtuale.unibo.it/] .

Per approfondire gli argomenti del corso gli studenti possono consultare:

E. Lanconelli: Lezioni di Analisi Matematica 2, prima e seconda parte, ed. Pitagora

M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli: Epsilon 2. Secondo corso di analisi matematica. Ed. Mc Graw Hill.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Lezioni di Analisi Matematica due, ed. Zanichelli

G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 2, ed. Zanichelli

Per esercizi:

M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, ed. Esculapio

P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica due, parte I e parte II, ed. Zanichelli

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alle proprietà alle funzioni reali di più variabili reali e del calcolo integrale. Le lezioni sono integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre vengono svolti numerosi esercizi.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta preliminare e una prova orale.

La prova scritta, della durata di due ore e 30', consiste di esercizi relativi agli argomenti svolti nel corso. Per sostenere la prova scritta occorre iscriversi in lista almeno tre giorni prima tramite AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/] . La prova scritta è superata con un punteggio minimo di 15 su 30.

La prova scritta rimane valida per sostenere l'orale nello stesso periodo di esame.

La prova di teoria, successiva alla prova scritta, riguarda prevalentemente gli aspetti teorici del corso. Lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti spiegati nel corso (in particolare definizioni e teoremi e le loro dimostrazioni) e di saperli collegare tra loro.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato, se assegnato

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giovanni Cupini