00686 - MECCANICA ANALITICA (M-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base sulla meccanica Lagrangiana ed Hamiltoniana e sui principali modelli integrabili. In particolare, lo studente è in grado scrivere le funzioni Lagrangiana e Hamiltoniana di un sistema meccanico; analizzare lo spazio delle fasi per i sistemi unidimensionali; riconoscere l’esistenza di integrali primi del moto correlati a simmetrie del sistema; studiare la stabilità degli equilibri e risolvere le equazioni del moto nell’approssimazione di piccole oscillazioni; discutere le soluzioni delle equazioni del moto per il campo centrale ed la trottola; utilizzare principi variazionali di minima azione per scrivere le equazioni del moto e utilizzare metodi perturbativi per lo studio dei sistemi meccanici.

Contenuti

Conoscenze e abilità da conseguire (sostituirà il precedente nel prossimo a.a.)

Al termine del corso, la studentessa/lo studente possiede conoscenze solide di meccanica lagrangiana e hamiltoniana e dei principali modelli integrabili. I risultati di apprendimento sono articolati su tre livelli di profondità, in coerenza con i Descrittori di Dublino e con il livello EQF 6.

1. Conoscenza e comprensione (DdD 1)

• Conoscere i fondamenti del formalismo lagrangiano e hamiltoniano e le loro basi variazionali.

• Comprendere il significato fisico e geometrico delle principali strutture della meccanica analitica (spazio delle fasi, varietà, simmetrie).

• Conoscere i teoremi fondamentali: Noether, Liouville, stabilità degli equilibri.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (DdD 2)

• Scrivere le funzioni Lagrangiana e Hamiltoniana di un sistema meccanico dato, applicando i principi variazionali.

• Analizzare lo spazio delle fasi per sistemi unidimensionali, identificando equilibri e loro stabilità.

• Riconoscere integrali primi del moto correlati a simmetrie e applicare il teorema di Noether a casi concreti.

• Risolvere le equazioni del moto nell'approssimazione di piccole oscillazioni (frequenze proprie, risonanza parametrica).

• Discutere analiticamente le soluzioni per il campo centrale (leggi di Keplero) e per il corpo rigido (trottola).

• Applicare metodi perturbativi elementari allo studio di sistemi meccanici.

3. Autonomia di giudizio, comunicazione e apprendimento (DdD 3-4-5)

• Valutare criticamente la coerenza formale di un argomento fisico-matematico, distinguendo dimostrazioni rigorose da argomentazioni qualitative.

• Esprimere con precisione e rigore argomentazioni matematiche oralmente e per iscritto, usando il linguaggio proprio della meccanica analitica.

• Affrontare in autonomia la lettura di testi scientifici avanzati (come Arnold), identificandone la struttura logica e i risultati principali.

• Sviluppare capacità di modellizzazione: tradurre un sistema fisico in un modello matematico, scegliendo le coordinate e il formalismo più adeguati.

Contenuti del corso

I contenuti sono organizzati in argomenti "core" (obbligatori per l'esame) e argomenti di "approfondimento" (utili per la formazione, ma non oggetto di verifica dettagliata). Questa distinzione è comunicata esplicitamente durante il corso.

Argomenti core

• Principi di Relatività e Determinismo: il gruppo di Galileo e le equazioni di Newton.

• Equazioni del moto: sistemi a uno e due gradi di libertà.

• Campo di forze conservativo e momento della quantità di moto.

• Moto in un campo centrale: le leggi di Keplero.

• Principi variazionali: equazioni di Lagrange e di Hamilton.

• Trasformazione di Legendre.

• Meccanica di Lagrange sulle varietà: vincoli olonomi e sistemi dinamici lagrangiani.

• Teorema di E. Noether.

• Principio di D'Alembert.

• Piccole oscillazioni: frequenze proprie e risonanza parametrica.

• Il corpo rigido: composizione dei moti, forza di inerzia, forza di Coriolis, equazioni di Eulero.

Argomenti di approfondimento

• Teorema di Liouville e sue implicazioni geometriche.

• Formalismo canonico completo.

• Sistemi integrabili: teoria e classificazione.

Testi/Bibliografia

• V.I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica. Testo avanzato di riferimento, seguito a una velocità adatta al livello del corso, con semplificazioni e integrazioni.

• M. Degli Esposti, S. Graffi, S. Isola – Note del docente: "Arnold for dummies". Risorsa principale, sviluppata appositamente per il corso.

•  "Introduzione ai Sistemi Dinamici Vol.2". Risorsa aperta, consigliata per approfondimenti.

 

Metodi didattici

Il corso si articola in lezioni frontali tradizionali (lavagna e slides), integrate da sessioni settimanali di esercitazione strutturata.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova scritta dura 3 ore e consiste di 3/4 quesiti: per la maggior parte esercizi applicativi, ma con almeno una domanda teorica. I possibili esiti sono un voto da 16 a 30+, oppure la non ammissione all'orale. L'esito 30+ indica uno scritto svolto particolarmente bene e non corrisponde alla lode, che è prerogativa del voto finale.

Il voto conseguito in una prova scritta rimane valido per l'intera sessione d'esame corrispondente: estiva (3 appelli), di settembre (1 appello) o invernale (2 appelli).

Esame orale

L'esame orale, della durata di circa 30 minuti, intende valutare:

• la conoscenza degli argomenti del programma (nessuno escluso);

• la capacità di connettere logicamente i vari argomenti, apprezzando l'unitarietà della materia;

• la capacità di esprimere il proprio pensiero in maniera chiara e precisa.

Il voto finale viene deciso alla conclusione dell'esame orale, sulla base anche del voto della prova scritta, ma senza vincoli predeterminati: potrà essere (anche sostanzialmente) più alto o più basso del voto scritto.

Strumenti a supporto della didattica

Studenti/sse con DSA o disabilità temporanee o permanenti: si raccomanda di contattare per tempo l’ufficio di Ateneo responsabile (https://site.unibo.it/studenti-con-disabilita-e-dsa/it): sarà sua cura proporre agli/lle studenti/sse interessati/e eventuali adattamenti, che dovranno comunque essere sottoposti, con un anticipo di 15 giorni, all’approvazione del/della docente, che ne valuterà l'opportunità anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento.

 

Nota metodologica

Il syllabus è redatto in coerenza con i Descrittori di Dublino, il Quadro Europeo delle Qualifiche (EQF 6) e le Linee strategiche UNIBO "Lo studente al centro" 2025–2027. I risultati di apprendimento, i contenuti, i metodi e le modalità di verifica sono progettati in allineamento costruttivo reciproco.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Mirko Degli Esposti