27993 - ANALISI MATEMATICA T-2

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili.

Contenuti

LO SPAZIO EUCLIDEO R^n. La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Sottoinsiemi di R^n aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.

LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità. Limite di una funzione. Funzioni continue. I teoremi di Weierstrass, degli zeri, di Bolzano e di Heine-Cantor per funzioni di più variabili. Derivata parziale e derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1. Matrice jacobiana. Differenziabilità di una funzione composta.

Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di più variabili. Estremanti relativi liberi e vincolati.

INTEGRALI CURVILINEI

Curve. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Integrale curvilineo di una funzione.
Campi vettoriali: definizione. Campi vettoriali conservativi e irrotazionali. Lavoro di un campo.

INTEGRALI DOPPI E TRIPLI

Domini normali. Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e tripli. Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano.

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE
Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Il teorema della divergenza e di Stokes.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Equazioni differenziali lineari e a variabili separabili. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi differenziali. Teoremi di esistenza, unicità e prolungabilità.

Testi/Bibliografia

Per la teoria uno dei seguenti testi:

Fusco-Marcellini-Sbordone: Analisi Matematica Due, Liguori Editore.

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2. Ed. Zanichelli.

G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 2, ed. Zanichelli

V. Barutello, M. Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzina: Analisi Matematica vol. 2, ed. Apogeo

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, seconda edizione (2011) Mc Graw Hill

Un libro di esercizi sulle funzioni di più variabili reali, ad esempio:

Bramanti M.: Esercitazioni di Analisi Matematica 2 , Ed. Esculapio

oppure

G. Catino, F. Punzo: ESERCIZI SVOLTI DI ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA 1/2, Ed. Esculapio

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alle proprietà alle funzioni reali di più variabili reali e alle equazioni differenziali lineari e non lineari. Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre vengono svolti numerosi esercizi in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova scritta, della durata di tre ore, contenente sia esercizi che domande di teoria (definizioni, enunciati dei principali teoremi dei quali potrà essere richiesta anche la dimostrazione se vista a lezione). La prova scritta è superata se si ottiene un voto maggiore o uguale a diciotto trentesimi.

Gli studenti, che hanno già superato l’esame di Analisi Matematica T1 e che superano la prova scritta di Analisi Matematica T2, hanno la possibilità di sostenere un’ulteriore prova orale, iscrivendosi sull’apposita lista Almaesami, che potrebbe rideterminare, in senso positivo o negativo, il punteggio ottenuto allo scritto, al più, di tre punti. Altrimenti si procede alla verbalizzazione dell’esito della prova scritta per tacito assenso, trascorsi quattro giorni dalla pubblicazione su Almaesami dei risultati della prova scritta.

Invecegli studenti, che NON hanno superato l’esame di Analisi Matematica T1 e che hanno ottenuto un voto maggiore o uguale a diciotto trentesimi nella suddetta prova scritta, devono necessariamente sostenere una ulteriore prova teorica, iscrivendosi su Almaesami nelle apposite liste.

La prova teorica verte sulla verifica della comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati. Di alcuni teoremi, specificati durante il corso, potrà essere richiesta la dimostrazione. L'eventuale prova orale potrà essere sostenuta anche in un appello successivo a quello in cui è stato superato lo scritto, purché all'interno della stessa sessione di esami.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (qualora assegnato)

Durante lo svolgimento del corso saranno disponibili fogli pdf di esercizi caricati sul sito IOL "Insegnamenti OnLine" https://iol.unibo.it/

Questi fogli sono molto importanti per la preparazione all'esame scritto.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Annalisa Baldi