31586 - COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA ED ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ T

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze di base relative al calcolo di funzioni di più variabile reali (proprietà, massimi e minimi) curve, potenziali, integrali multipli, loro significato, soluzione di alcuni tipi semplici di equazioni differenziali. Inoltre possiede le nozioni elementari di probabilità, con particolare riferimento ad alcune distribuzioni nel continuo (distribuzioni uniforme e normale).

Contenuti

Spazi di probabilità

Definizione, probabilità condizionata, indipendenza, calcolo combinatorio.

Modelli discreti

Variabili aleatorie discrete (Bernoulli, geometrica, ipergeometrica -solo cenni-, Poisson), variabili aleatorie multidimensionali, Disuguaglianza di Chebichev e legge dei grandi numeri.

Indicatori sintetici

Valore atteso, varianza, covarianza, correlazione

Modelli continui

Variabili aleatorie continue (uniforme, esponenziale, normale).

Approssimazione

Teorema limite centrale. Stima della media di una distribuzione normalecon varianza nota o ignota.

 

LO SPAZIO EUCLIDEO R^n.

La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Sottoinsiemi di R^n aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.

LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità. Definizione di funzione continua e di limite. I teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi per funzioni di più variabili. Definizione di derivata parziale e di derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1; il differenziale e la matrice jacobiana. Il teorema sulla differenziabiltà di una funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili.  

INTEGRALE MULTIPLO. Definizione di integrale doppio di Riemann su insiemi limitati e misurabili. Proprietà dell'integrale doppio. I teoremi di riduzione su   insiemi semplici. Il teorema di cambiamento di variabili.   Cenni sugli integrali doppi generalizzati.

INTEGRALI CURVILINEI. Curve regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, integrale di una funzione su una curva. L'integrale di un campo vettoriale su una curva orientata. Campi vettoriali conservativi e loro potenziali. 

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi differenziali. Teoremi di esistenza, unicità e prolungabilità. Metodi risolutivi per equazioni non-lineari a variabili separabili e per equazioni lineari del primo ordine. Risoluzione di equazione differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con il metodo di somiglianza

 

 

Testi/Bibliografia

Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.

oppure

Fusco-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.

 

Un libro di esercizi sulle funzioni di più variabili reali, ad esempio:

M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Progetto Leonardo - Esculapio (2012),

oppure

P.Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica Due (prima e Seconda Parte) ed. Zanichelli.

Comunque il materiale fornito su iol dovrebbe essere sufficiente per lo studio della parte teorica, probabilmente non per quella di esercizi.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alla probabilità, alle proprietà alle funzioni reali di più variabili reali, ai campi vettoriali e alle equazioni differenziali non lineari. Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre vengono svolti numerosi esercizi in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

The assessment is divided in 2 parts: probability and analysis.

The probability part will be a multiple choice test.

The analysis part is divided in 2 tests and the student needs to pass the first test to be admitted to the second.

The first test will be a written exam lasting between 2 hours and 2 hours and a half, in which the student will solve some exercises using the tools learned in the course. This exercise test is passed with a grade greater or equal to 15/30.

The second test will be a theorical one, meant to verify the comprehension of the definitions, the theorems and their proofs. The student may take this exam in a different session with respect to the one in which he passed the exercise test, but before 6 weeks.

Through this theorical exam he may gain up to 7 points but the grade may also decrease and the student may also fail it.

If the student fails the theorical test he may retry it once without repeating the exercise exam, but if he fails the theorical test twice he must repeat also the exercise exam.

To avoid too crowded exams in the summer exams, in order to be admitted to the exercises test, the student should also pass a multple choice test with simple exercises which will last 10-15 minutes.

Strumenti a supporto della didattica

Link ad altre eventuali informazioni

https://virtuale.unibo.it/course

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Matteo Franca [https://www.unibo.it/sitoweb/matteo.franca4]

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Matteo Franca

Consulta il sito web di Berardo Ruffini