37643 - ANALISI MATEMATICA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, una volta superata la prova di verifica finale, lo studente dovrebbe possedere le conoscenze di base relative all’analisi ed in particolare alle funzioni di una variabile reale: proprietà di tali funzioni, lettura ed interpretazione di grafici, derivate, integrali e loro significato, approssimazione delle stesse.

Contenuti

Programma/Contenuti

• Premesse: N,Z,Q,R; minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Funzioni, grafico, iniettività, suriettività, immagine, funzione inversa, funzione composta. Cenni alle funzioni elementari.
• Numeri complessi: Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici n-esime, equazioni algebriche in campo complesso.
• Limiti: Intorni, punti di accumulazione. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro. Proprietà del limite: unicità, località; proprietà algebriche del limite e teoremi del confronto. Limiti di funzioni monotone. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Simboli di Landau. Limiti notevoli.
• Continuità: Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: teorema di Weierstrass, teorema di Bolzano, teorema degli zeri, teorema su invertibilità e monotonia (cenno), teorema di continuità della funzione inversa (cenno).
• Derivazione e applicazioni: Interpretazione geometric della derivata e retta tangente; derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, regola di Leibniz, derivata della funzione reciproca, derivata della funzione inversa, derivata della funzione composta. Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: teorema di Rolle, teorema di Lagrange, funzioni a derivata nulla e funzioni costanti, primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata. Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate. Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda. Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor, unicità del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n, formula di Taylor con il resto di Peano, proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari, applicazione ai limiti di forme indeterminate. Analisi qualitativa delle funzioni: cenno ai punti angolosi/cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari, i punti estremanti interni sono stazionari, condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale, punti di flesso: definizione e interpretazione geometrica, condizioni necessarie e condizioni sufficienti (mediante le derivate) perchè un punto sia di flesso.
• Integrazione e applicazioni: Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Teorema della media integrale. Funzione integrale e funzione primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni continue. Regola di Torricelli. Teorema di integrazione per parti e teorema di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrale di Riemann generalizzato. Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva. 
• Equazioni differenziali: Introduzione, problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di ordine n: esistenza e regolarità globali delle soluzioni, principio di sovrapposizione delle soluzioni, caratterizzazione dell'insieme delle soluzioni come spazio vettoriale, teorema del Wronskiano. Integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti. Integrale generale e risoluzione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del I ordine: y'=a(t)y+b(t). Metodi per la ricerca dell'integrale particolare di un'equazione differenziale lineare non omogenea: metodo "per simpatia" e metodo di variazione delle costanti. Equazioni differenziali a variabili separabili: risoluzione del problema di Cauchy.

Testi/Bibliografia

Libro di testo adottato per la Teoria:
G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, Volume 1, Zanichelli Editore (Bologna), 2009

Per le esercitazioni:
si vedano i fogli di esercizi pubblicati sul sito web del docente (sezione amsCampus)

(eventuale libro di testo integrativo per gli esercizi:
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli Editore (Bologna), 2011

Metodi didattici

Il corso prevede lo svolgimento di lezioni di carattere teorico affiancate da esercitazioni che hanno lo scopo di aiutare lo studente ad acquisire familiarità e padronanza degli strumenti e dei metodi matematici introdotti durante le lezioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.

Saranno previste prove intermedie (la prima in novembre; la seconda durante gli appelli invernali)

Esame scritto:
Durata: 2 ore e 30 minuti; oppure 3 ore (verrò comunicato a Lezione).

Prove intermedie scritte:
Sono previste prove intermedie (con modalità/date che verranno definite): la prima generalmente è a novembre; la seconda (solo per chi è risultato sufficiente alla prima) può essere sostenuta (una sola volta) durante UNO QUALUNQUE DEI tre appelli invernali:
chi risulta insufficiente alla prima prova parziale dovrà poi necessariamente sostenere lo scritto totale. Chi risulta sufficiente alla prima ma insufficiente alla seconda prova parziale dovrà poi necessariamente sostenere lo scritto totale (in un qualunque appello successivo). Chi risulta sufficiente alle prove scritte parziali dovrà poi sostenere anche la prova orale.

Esame orale:
Da sostenere OBBLIGATORIAMENTE nella stessa sessione in cui si è sostenuto lo scritto (eventualmente in un appello diverso da quello dello scritto).
Verranno assegnate tre domande (solitamente personalizzate per ciascuno studente) di Teoria, a cui lo studente risponderà per iscritto al momento dell'orale; tali domande verranno immediatamente corrette e verranno fatte una o più domande ulteriori allo studente, a cui dovrà rispondere sempre per iscritto.

Note: Lo studente con voto insufficiente allo scritto NON può sostenere l'orale (i punteggi per la sufficienza saranno segnalati nel testo dello scritto).
L'insufficienza ad uno scritto (totale) NON pregiudica la partecipazione agli scritti successivi. È prevista un'ammissione all'orale "con riserva" (i punteggi per l'ammissione con riserva saranno segnalati nel testo dello scritto).
Si può sostenere l'esame orale SOLO all'interno della stessa sessione dello scritto, anche in un appello differente da quello in cui si è superato lo scritto.
NOTA BENE: Chi risulta insufficiente all'orale DEVE RIFARE ANCHE LO SCRITTO.

Voto finale: Il voto finale tiene conto sia dello scritto sia dell'orale.

Numero di esami: Tre appelli nella sessione invernale (gennaio-febbraio). Tre appelli nella sessione estiva (uno a giugno; uno a luglio; uno a settembre).

Iscrizione agli esami: Lo studente dovrà iscriversi sia all'esame scritto sia all'esame orale attraverso il sito di Alma Esami.
Chi non si iscrive alle prove scritte/orali NON può sostenere l'esame.
Attenzione: l'iscrizione chiude normalmente uno o due giorni prima della prova! Iscriversi per tempo!!

Strumenti a supporto della didattica

Libro di testo adottato per la Teoria:
G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, Volume 1, Zanichelli Editore (Bologna), 2009

Per le esercitazioni:
si vedano i fogli di esercizi pubblicati sul sito web del docente (sezione amsCampus)

(eventuale libro di testo integrativo per gli esercizi:
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli Editore (Bologna), 2011

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Bonfiglioli