73701 - ANALISI MATEMATICA II

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscere gli strumenti dell'analisi Matematica e vederne alcune applicazioni, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili e alle equazioni differenziali.

Contenuti

Serie e integrali generalizzati

Numeri complessi.

Calcolo in più variabili.

Premesse: R^n è uno spazio normato. Definizioni e principali proprietà di: insieme aperti o chiuso, insieme limitato, insieme compatto. Definizione di limite per funzioni in più variabili a valori reali. Funzioni da R^n a R^m: definizione, limitatezza, continuità. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili.

Calcolo differenziale in più variabili e applicazioni a) funzioni da R^n a R: derivate parziali, gradiente, derivate direzionali, derivate di ordine superiore, matrice hessiana, lemma di Schwarz. Significato geometrico del gradiente, teoremi su esistenza del piano tangente al grafico e su espressione delle derivate direzionali in funzione del gradiente, la derivata nella direzione del gradiente è massima(*). Formula di Taylor del I e del II ordine. Applicazione: estremanti relativi per funzioni di più variabili. Definizione di massimo e minimo locale, di punto critico. Teorema di Fermat(*). Richiami sulle proprietà delle matrici simmetriche e sulle forme quadratiche. Teoremi su condizioni necessarie o sufficienti (gradiente nullo +classificazione matrice hessiana)(*); b) funzioni da R^n in R^m: derivate parziali, matrice jacobiana. Matrice jacobiana della funzione composta e della funzione inversa(*).

Integrazione Definizione di misura di Peano-Jordan per insiemi limitati di R^n, misura interna e misura esterna. Definizione di integrale di Riemann per funzioni continue, limitate, non negative e definite su intervalli limitati come misura del sottografico. Parte positiva e parte negativa di una funzione e integrale di una funzione continua di segno variabile su un intervallo limitato. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Teorema della media integrale. Principio di Cavalieri. Teorema di riduzione per integrali doppi e tripli di funzioni continue definite su domini normali. Teorema del cambiamento di variabile (cambiamenti di coordinate polari(*), sferiche(*) e cilindriche(*)).

Equazioni differenziali e problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari di ordine n: Equazione omogenea a coefficienti continui: regolarità e dominio massimale delle soluzioni, principio di sovrapposizione (*), le soluzioni formano uno spazio vettoriale n-dimensionale. Wronskiano: definizione ed equazione differenziale del Wronskiano, teorema del Wronskiano (dimostrazione nel caso n=2). Unicità della soluzione del problema di Cauchy, soluzioni indipendenti corrispondono a problemi di Cauchy con vettori indipendenti delle condizioni iniziali. Equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti: equazione caratteristica, soluzione nel caso le radici siano semplici o multiple, reali o complesse. Equazione di Eulero (risoluzione con cambio di variabile). Equazioni non omogenee a coefficienti e termine noto continui: regolarità e dominio massimale delle soluzioni, differenza di due soluzioni della non omogenea è soluzione dell'omogenea(*), somma di una soluzione dell'omogenea e una della non omogenea è soluzione della non omogenea(*), la soluzione generale è la somma di una soluzione particolare della non omogenea e della soluzione generale della omogenea. Unicità della soluzione del problema di Cauchy. Metodo di variazione delle costanti nel caso n=2(*). Metodo di simpatia (termine noto: exp(a x), cos(bx), sen(cx), x^l). 

Calcolo differenziale e curve: integrali di funzioni e campi su curve lisce; campi vettoriali esatti e chiusi.

Testi/Bibliografia

Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa;
Analisi matematica 2,  Zanichelli, 2009

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto e orale

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicola Arcozzi