00540 - ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce le basi della teoria delle funzioni di variabile complessa, con particolare rilievo al punto di vista geometrico. Sa applicare le conoscenze acquisite alle altre discipline matematiche, e alla risoluzioni di semplici problemi posti dal scienze applicate.

Contenuti

Serie di potenze formali
– Anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Anello delle serie formali a coefficienti in un anello.
– Metrica e topologia nell'anello delle serie formali. Contrazioni. La serie geometrica.
– Caratterizzazione degli elementi invertibili dell'anello delle serie di potenze formali.
– Equazioni differenziali nell'anello delle serie di potenze formali. Esistenza ed unicità del problema di Cauchy.
– Serie esponenziale, logaritmica e binomiale. Formula di Vandermonde.
– L'equazione funzionale per la serie esponenziale ed il teorema del binomio di Newton.

Endomorfismi dell'anello delle serie di potenze formali
– Struttura di monoide per le serie formali di ordine positivo rispetto alla composizione e suo anti-isomorfismo con il monoide degli endomorfismi del'anello delle serie formali.
– Criterio di invertibilità nel monoide delle serie formali di ordine positive per l'operazione di sostituzione.
– Coppie di serie reciproche: exp/log, tan/atan, sin/asin.

Serie di Laurent formali
– Serie di Laurent formali.
– Le serie di Laurent sono il campo dei quozienti dell'anello delle serie di potenze formali (se l'anello dei coefficienti è un campo)
– Sviluppo delle funzioni razionali.

Derivazioni formali
– Estensioni di una derivazione all'anello dei polinomi.
– Estensione di una derivazione dall'anello dei polinomi all'anello delle serie di potenze.
– Estensione di una derivazione al campo dei quozienti.

Funzioni olomorfe
– Derivata complessa. Anello delle funzioni olomorfe. Composizione di funzioni olomorfe. Il coniugio non è olomorfo.
– Le equazioni di Cauchy-Riemann. La funzione esponenziale complessa in termini della funzione esponenziale reale e funzioni trigonometriche.
– Una funzione olomorfa con parte reale/parte immaginaria/modulo costante è costante.

Pricipio della media e del massimo
– Invarianza della media su circonferenze concentriche. Proprietà della media per funzioni olomorfe.
– Una funzione continua olomorfa tranne che in un punto è olomorfa.
– Principio del massimo forte per le funzioni continue che verificano la proprietà della media.
– La derivata di una funzione olomorfa è olomorfa.
– Una funzione olomorfa intera che tende a zero all'infinito è identicamente nulla.
– Il teorema fondamentale dell'algebra.
– Il teorema di Liouville.
– Lemma di Schwarz.
– Il teorema di convergenza di Weierstrass.

Sviluppi in serie
– Zeri di funzioni olomorfe di molteciplità m e loro caratterizzazione in termini di derivate.
– Esistenza ed unicità del polinomio di Taylor di ordine d associato ad una funzione olomorfa in un punto del dominio.
– Ogni funzione olomorfa su un disco nulla con tutte le derivate nel centro del disco è identicamente nulla.
– Gli zeri di molteplicità infinita di una funzione olomorfa formano un insieme aperto e chiuso.
– Principio del prolungamento analitico per le funzioni olomorfe. Gli zeri di una funzione olomorfa sono isolati.
– Le funzioni olomorfe su un dominio formano un dominio di integrità.
– Serie di potenze convergenti. Raggio di convergenza di una serie di potenza Caratterizzazione delle funzioni olomorfe
su un disco.
– Funzioni analitiche. Una funzione è analitica se, e solo se, è olomorfa.
– Disuguaglianze di Cauchy.
– Teorema torinese di Cauchy.

Meromorfia
– Singolarità isolate di una funzione olomorfa e loro classificazione: singolarità apparenti, polari ed essenziali.
– Teorema di estensione di Riemann.
– Funzioni meromorfe.
– Le funzioni meromorfe su un dominio formano un campo.
– Il teorema di Casorati-Weierstrass.
– Sviluppo di Laurent delle funzioni meromorfe.
– Proprietà elementari delle funzioni esponentiali e trigonometriche in campo complesso.

Logaritmo complesso ed indice di un cammino.
– Logaritmo ed argomento di un numero complesso.
– Estensione ed olomorfia del logaritmo nel semipiano destro.
– Determinazione locali del logaritmo e determinazioni del logaritmo lungo una funzione continua.
– Determinazione principale del logaritmo e dell'argomento.
– Omotopia, spazi contrattili, spazi semplicemente connessi. Gli aperti stellati sono contrattili.
– Esistenza di determinazioni del logaritmo lungo cammini.
– Esistenza di determinazioni del logaritmo lungo omotopie.
– Indice di un cammino chiuso rispetto ad un punto.
– Invarianza dell'indice per omotopia.
– Due cammini sono omotopi in Cn fz0g se, e solo se, hanno lo stesso indice rispetto a z0.
– Esistenza di determinazioni del logaritmo in domini semplicemente connessi.

Rivestimenti (solo enunciati).
– La nozione di rivestimento. Aperti ammissibili.
– Sezioni e sollevamenti.
– Esistenza di sollevamenti lungo cammini ed omotopie.
– Criteri di esistenza di sezioni in termini di sollevamenti di cammini chiusi.
– Esistenza di sollevamenti di funzioni definite su spazi semplicemente connessi.

Primitive di funzioni olomorfe
– Esistenza di primitive di una funzione olomorfa su un disco.
– Il rivestimento associato alle primitive locali di una funzione olomorfa.
– Esistenza delle primitive olomorfe di una funzione olomorfa su domini semplicemente connessi. Determinazioni dell'arcotangente e dell'arcoseno.

Forme differenziali
– Definizione di forma differenziale. Il differenziale di una funzione.
– Integrazione di una forma differenziale lungo un cammino C1 a tratti.
– Forme esatte e localmente esatte.
– Derivate complesse formali. Esattezza e primitive olomorfe.
– Una forma continua è esatta su un disco se, e solo se, l'integrale lungo il bordo di ogni rettangolo contenuto nel disco è nullo.
– Il rivestimento associato ad una forma localmente esatta.
– Primitive (locali) di una forma come sezioni (locali) del rivestimento associato.
– Primitive lungo una funzioni di una forma localmente esatta come sollevamenti lungo il rivestimento associato.
– Integrazione lungo un cammino continuo di una forma differenziale localmente esatta.
– Invarianza dell'integrale di una forma localmente esatta lungo cammini omotopi.
– L'integrale di una forma localmente esatta lungo un cammino chiuso è nullo se, e solo se, il cammino si solleva lungo il rivestimento associato alla forma ad un cammino chiuso.
– Una forma su un aperto è localmente esatta se, e solo se, l'integrale sul bordo di ogni rettangolo contenuto nell'aperto è nullo.
– Equivalenza tra esistenza di primitive globali di una forma e l'annullamento degli integrali lungo cammini chiusi.
– Esattezza delle forme localmente esatte in domini semplicemente connessi.

La teoria dei residui
– Il teorema di Morera.
– Principio di riflessione di Schwarz.
– Rappresentazione integrale dell'indice di un cammino chiuso.
– Formula di rappresentazione integrale di Cauchy.
– Decomposizione di una funzione olomorfa in una corona circolare.
– Sviluppo di Laurent di una funzione olomorfa in una corona circolare.
– Classificazione delle singolarità isolate in termini dello sviluppo di Laurent.
– Il teorema dei residui.
– Derivata logaritmica.Teorema dell'indicatore logaritmico.
– Teorema dell'applicazione aperta.
– Teorema dell'applicazione inversa per funzioni olomorfe.
– L'esistenza della derivata complessa implica l'olomorfia di una funzione.
– Lo sviluppo della funzione cotangente nell'origine.

Testi/Bibliografia

H. Cartan "Théorie élémentaire des fonctions analytiques d' une ou plusieurs variables complexes", Hermann Ed.

Metodi didattici

Lezioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L' esame è orale.
Si ricorda che questo corso è parte un corso integrato, costituito da due corsi: Geometria 3 e Istituzioni di Geometria Superiore.
L' esame del corso integrato può essere sostenuto in due modalità.
Lo studente può sostenere l' esame in un solo appello sul programma dei due corsi
Lo studente può sostenere l' esame in due appelli. In questo secondo caso lo studente sostiene una prova in uno dei due corsi (scelto a sua preferenza - prova intermedia)  e sarà valutato per tale prova. Una volta accettata tale valutazione (voto ≥ 18), non sarà più possibile sostenere altre prove sullo stesso programma, a meno che la commissione non ritenga nella seconda prova di ritornare sull' argomento. In un secondo tempo lo studente sosterrà l' esame dell' altro corso e sarà valutato per questa prova (ancora è necessario ottenere un voto ≥ 18). La valutazione finale è stabilita sulla base delle valutazioni dei due corsi.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Sergio Venturini