- Docente: Andrea Brini
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/02
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Moduli: Andrea Brini (Modulo 1) Marilena Barnabei (Modulo 2)
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 1) Convenzionale - Lezioni in presenza (Modulo 2)
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea Magistrale in Matematica (cod. 8208)
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso, lo studente possiede conoscenze algebriche avanzate necessarie per la comprensione di problemi nell'ambito della matematica classica e moderna ed e' in grado di utilizzarle autonomamente.
Contenuti
(modulo Barnabei)
COMBINATORIA ALGEBRICA ED ENUMERAZIONE.
Il principio di inclusione-esclusione: Le formule di Da Silva e
Sylvester. I "dérangements". La funzione di Eulero.
Insiemi parzialmente ordinati e reticoli: Insieme parzialmente
ordinato. Copertura e diagramma di Hasse. Dualità. Rango. Morfismo
d'ordine. Reticolo. Reticolo completo. Sottoreticolo; morfismo di
reticoli. Reticolo modulare. Reticolo distributivo. I Teoremi di
Birkhoff. Atomo; reticolo atomico. Algebra di Boole.
La funzione di Moebius della teoria dei numeri (richiami): i numeri
primi. Il reticolo degli interi ordinati per divisibilità. La
funzione di Moebius. Un'applicazione: il problema delle
collane.
La funzione di Moebius di un insieme parzialmente ordinato:
L'algebra di incidenza e alcune sue funzioni notevoli. La funzione
di Moebius. La formula di inversione di Moebius. Tecniche di
calcolo. Operatori di chiusura e connessioni di Galois.
La funzione di Moebius di un reticolo: Risultati generali. Il
reticolo dei sottospazi di V (n; q). Il reticolo delle partizioni
di un insieme finito. Un'applicazione: il numero dei grafi
connessi. Il polinomio caratteristico. I teoremi del cross-cut.
Reticoli complementati.
I reticoli geometrici: Reticoli semimodulari. Reticoli geometrici.
Matroidi. Applicazioni: 1. Il polinomio cromatico di un grafo. 2.
L'esponente critico di un insieme di punti di PG(n; q). 3.
Dissezioni dello spazio mediante iperpiani.
(modulo Brini)
COMBINATORIA ALGEBRICA E TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI.
Superalgebre: generalita'. Superalgebre associative e superalgebre di Lie.
Algebre supersimmetriche. Superalgebre letterplace Super[L|P].
Superderivazioni e superpolarizzazioni. Azioni delle superalgebre di Lie generali lineari. Super[L|P] come bimodulo.
Spazi di tensori Z_2-graduati e gruppi simmetrici. Azioni classiche ed azioni di Berele-Regev- Sergeev.
Il metodo delle variabili virtuali.Operatori di tipo Capelli e loro virtualizzazione/devirtualizzazione.
Biprodotti di Grosshans-Rota-Stein. Rappresentazione virtuale e sviluppi di Laplace.
Combinatoria elementare dei Tableaux di Young. Tableaux superstandard e hook property. Straightening law e Teorema della base standard. Bitableaux simmetrizzati e serie di Gordan-Capelli superalgebrica. Simmetrizzatori di Young-Capelli e loro combinatoria. Coefficienti di simmetria e teoremi di triangolarità. Semisemplicità di Super[L|P].
Teoremi di decomposizione completa e teorema del doppio commutatore.
Testi/Bibliografia
V. S. Varadarajan, "Lie groups, Lie algebras and their
representations", Springer
A. Brini, Combinatorics, Superalgebras, Invariant theory and
Representation theory, Seminaire Lotharingien de Combinatoire 55
(2007), pp. 118
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
Colloquio finale (prova solo orale).
Orario di ricevimento
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