28616 - ANALISI MATEMATICA T-B (A-K)

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscere gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di più variabili reali e alle equazioni differenziali, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria

Contenuti

LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI REALI E VETTORIALI DI PIU' VARIABILI REALI. Definizione di intorno di un punto di R^n, di insiemi limitati, aperti e chiusi. Definizione di limite e continuita' in un punto per funzioni di piu' variabili reali a valori reali e vettoriali. Il Teorema di Weierstrass e il Teorema di Bolzano. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI E VETTORIALI DI PIU' VARIABILI REALI. Definizione di derivate parziali e direzionali, matrice jacobiana, gradiente, differenziale. L'equazione del piano tangente a un grafico. Il teorema sulla differenziabilità delle funzioni di classe C^1. Derivate parziali di una composizione di funzioni. Derivate parziali di ordine superiore al primo. Il Teorema di Schwarz sulle derivate miste. La matrice Hessiana. La formula di Taylor al secondo ordine. Estremanti locali per funzioni reali di più variabili reali: definizioni, Teorema di Fermat, condizioni sufficienti basate sulla matrice Hessiana. Estremanti locali vincolati: il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Funzioni convesse in R^n: definizione, caratterizzazione della convessità per funzioni di classe C^2. NUMERI COMPLESSI. Definizione di numeri complessi e di operazioni tra numeri complessi. Forme algebrica, trigonometrica ed esponenziale. Formula di de Moivre per le radici n-esime di un numero complesso. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie. Teoremi di esistenza e di unicità delle soluzioni. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: integrale generale nel caso omogeneo e in quello non omogeneo; risoluzione esplicita nel caso dei coefficienti costanti. INTEGRALI DOPPI. Definizione di integrale doppio. Il Teorema di riduzione. Il Teorema di cambiamento di variabili. INTEGRALI GENERALIZZATI IN R e in R^2. Definizione di integrale generalizzato. Assoluta integrabilità. Criterio del confronto. SERIE NUMERICHE. Definizione di serie, convergenza e assoluta convergenza. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno. Criterio integrale.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto e orale. La prova scritta può essere sostituita da due prove scritte parziali.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~obrecht/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Enrico Obrecht