66947 - MATEMATICA CON LABORATORIO DI INFORMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale, del calcolo vettoriale e dell'algebra lineare, dei primi elementi del calcolo per funzioni di più variabili, dei numeri complessi e conosce i metodi pi elementari per la soluzione di equazioni differenziali. In particolare, lo studente è in grado di: rappresentare dati o funzioni in forma grafica, eseguire applicazioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali, eseguire operazioni con vettori e matrici. Nel laboratorio di informatica lo studente acquisisce competenze sui principi fondamentali e le abilità pratiche riguardo al funzionamento di un calcolatore. Sa utilizzare i concetti alla base del calcolo numerico, quali analisi dell'errore, interpolazione, integrazione numerica, equazioni non lineari e sistemi di equazioni lineari ed è in grado di risolvere semplici problemi di calcolo scientifico.

Contenuti

Numeri: rappresentazioni decimali e binarie dei numeri reali, standard IEEE 754, successioni convergenti, somme infinite (serie), numeri floating point e operazioni relative, propagazione degli errori, numeri complessi, numeri complessi in forma trigonometrica, formula di De Moivre e formula di Eulero.

Vettori e matrici: scalari e vettori, algebra dei vettori, vettori numerici, spazi vettoriali, prodotto scalare, prodotto vettoriale in R^3, basi e dimensione, cambiamenti di base, trasformazioni lineari e matrici associate, determinanti, sistemi di equazioni lineari e metodi numerici per risolverli (fattorizzazione LU e fattorizzazione di Cholesky, metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel),  autovalori e autovettori, metodi numerici per calcolarli.

Funzioni: relazioni e funzioni, funzioni numeriche reali e loro grafici (funzioni algebriche, esponenziali, logaritmiche e goniometriche), limiti e continuità di funzioni, metodo di bisezione per trovare gli zeri di una funzione, funzioni numeriche reali di due e di più variabili reali.

Calcolo differenziale: derivate e differenziali, derivazione numerica, significato geometrico della derivata (tangente) e interpretazione cinematica della derivata (velocità), regole di derivazione, teoremi sulle funzioni derivabili in un intervallo (in particolare il teorema di Taylor), metodo di Newton per calcolare gli zeri di funzioni derivabili, calcolo differenziale per funzioni di più variabili (derivate parziali, derivate direzionali, gradiente, classificazione di punti critici).

Calcolo integrale: integrale indefinito, integrale definito (secondo Riemann) e sue proprietà, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione numerica (formule del punto medio, del trapezio, di Simpson), tecniche di integrazione (integrazione per parti e per sostituzione), equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, calcolo integrale per funzioni di più variabili (integrali doppi e tripli, integrali di linea, forme differenziali).

Approssimazione di funzioni e di dati: interpolazione polinomiale di Lagrange, nodi di Chebyshev, interpolazione trigonometrica e trasformata rapida di Fourier, interpolazione con funzioni spline, metodo dei minimi quadrati.

Gli argomenti trattati vengono approfonditi nel laboratorio di informatica (usando soprattutto Octave). In particolare si analizzano la stabilità, la precisione e la complessità dei metodi numerici introdotti.

Testi/Bibliografia

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa : Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004.

A. Quarteroni, F. Saleri, Calcolo scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave, 4a ed., Springer-Verlag Italia, Milano, 2008.

E. Steiner, The Chemistry Maths Book. Second Edition, Oxford University Press, Oxford, 2008.

S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011. 
M.R. Spiegel: Analisi matematica. McGraw-Hill, 1994.

Metodi didattici

Lezioni in aula integrate da esercitazioni e attività di laboratorio informatico (programmazione in MATLAB/Octave). Il corso è accompagnato da un servizio di tutorato.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, con esercizi (per le prove scritte degli anni precedenti si veda http://www.dm.unibo.it/~achilles), seguita da un colloquio orale in cui sarà accertato il livello di approfondimento della materia  e discusso un progetto di programmazione svolto dallo studente.

Strumenti a supporto della didattica

Lavagna a gesso (e a volte videoproiettore). Esercizi e materiale didattico sul sito o http://www.dm.unibo.it/~achilles/.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~achilles

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Hans Joachim Rudiger Achilles