00679 - MATEMATICA GENERALE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente: - conosce i fondamenti dell'algebra lineare e della teoria dei limiti e delle successioni. Lo studente è in grado di risolvere un sistema di equazioni lineari di primo grado e di calcolare i limiti delle successioni e delle funzioni più importanti; - conosce gli elementi di calcolo differenziale ed integrale ed è in grado di applicarli alla risoluzione di semplici problemi teorico-pratici ed alla formulazione ed interpretazione dei modelli matematici dell'economia, dell'azienda e della finanza.

Contenuti

Modulo 0: Prerequisiti

– Il linguaggio della "teoria ingenua" degli insiemi.

Relazioni e funzioni; dominio, codominio, immagine e controimmagine; funzioni iniettive, suriettive, biiettive; composizione di relazioni e di funzioni; relazione inversa e funzione inversa.

– Aritmetica.

I numeri naturali (N), gli interi (Z), i razionali (Q), i reali (R). Rappresentazione decimale dei numeri razionali e dei reali. Le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza, di sottrazione, divisione, radice e logaritmo, loro proprietà. Relazione d'ordine. Le funzioni "valore assoluto" e "segno" di un numero. Numeri primi e teorema fondamentale dell'aritmetica.

– Geometria euclidea.

Distanze; diseguaglianze triangolari. Angoli e loro misurazione; il grado ed il radiante. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelogrammi e rettangoli. Area di rettangolo, di un triangolo, di un poligono. Additività e monotonia del'area. Principio di esaustione. Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio. Il numero "pi greco". Volume di un parallelepipedo, di un prisma, di una piramide, di una sfera.

– Algebra elementare.

Monomi e polinomi. Prodotti notevoli. Potenza n-esima di un binomio. Divisione tra polinomi. Regola di Ruffini. Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni biquadratiche.

– Elementi di geometria analitica.

Il piano cartesiano. Punto medio di un segmento. Lunghezza di un segmento. Pendenza di una retta. Equazione implicita ed esplicita di una retta; coefficiente angolare. Intersezione di due rette. Parallelismo tra rette. Equazione della circonferenza.

– Funzioni elementari e loro grafici.

La funzioni potenza con esponente naturale, intero, razionale, reale. Grafico di un polinomio. Le funzioni esponenziali e logaritmiche. Le funzioni circolari ed iperboliche.

Modulo 1: Calcolo differenziale in R

Completezza del campo R dei numeri reali. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di un insieme di numeri reali.

Successioni e serie: limite di una successione, somma di una serie. Successioni limitate e monotone. Serie geometriche.

Funzioni reali di una variabile reale. Insieme di esistenza. Grafico delle funzioni elementari. Funzioni pari e dispari. Estremi ed estremanti, relaivi ed assoluti. Funzioni limitate. Funzioni monotone. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili. Trasformazioni elementari di grafici di funzioni.

Definizione di limite. Teoremi fondamentali sui limiti. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Il "numero di Nepero".

Funzioni continue. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Invertibilità, monotonia e continuità.

Rapporto incrementale e derivata. Significato geometrico della derivata. Funzioni derivabili.

Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni derivabili. Derivata della composizione di due funzioni derivabili. Derivata dell'inversa di una funzione derivabile.

Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Corollari del teorema di Lagrange: test di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti, teorema del limite della derivata. Teorema di De l'Hospital.

Derivate di ordine superiore. Ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti e relativi. Teorema di Fermat (condizione necessaria per l'esistenza di punti di minimo e massimo relativi). Condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di minimo e massimo relativi. Concavità, convessità. Punti di flesso. Studio del grafico di una funzione.

Polinomio di Taylor e di MacLaurin.

Modulo 2: Calcolo integrale

Definizione secondo Darboux e secondo Riemann dell'integrale di una funzione limitata su un intervallo limitato e chiuso. Equivalenza delle due definizioni. Significato geometrico dell'integrale. Funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Additività e monotonia dell'integrale. Additività rispetto all'intervallo d'integrazione. Integrali impropri di prima e seconda specie.

Valor medio integrale. Teorema del valor medio integrale per funzioni continue in un intervallo. Primo teorema fondamentale del calcolo (teorema di Torricelli–Barrow). Secondo teorema fondamentale del calcolo (formula di Leibniz-Newton).

La funzione integrale di una funzione integrabile, sue proprietà. Primitive di una funzione. Calcolo delle primitive di una funzione: primitive immediate, integrazione per scomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione di alcune funzioni razionali fratte.

Modulo 3: Elementi di algebra lineare

Lo spazio Rn; vettori numerici. Trasformazioni lineari ed equazioni lineari; composizione di trasformazioni lineari. Matrici. Matrice associata ad una trasformazione lineare. Matrice associata alla composizione di due trasformazioni lineari. Prodotto di matrici. Somma di matrici. Trasposta di una matrice. Matrici quadrate. Matrice identica (o identita'). L'algebra delle matrici quadrate n*n.

Sistemi lineari di m equazioni in n incognite omogenei e non omogenei. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sui sistemi lineari.

Operazioni elementari per riga sulle matrici. Matrici elementari e loro inverse. Matrici equivalenti per righe. Matrici a scala e a scala ridotta. Algoritmo di Gauss. Rango di una matrice. Calcolo del rango mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan.

Risoluzione dei sistemi lineari mediante gli algoritmi di Gauss e di Gauss-Jordan. Terorema di Rouché-Capelli.

Matrici quadrate. Matrici invertibili. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata mediante l'algoritmo di Gauss-Jordan. Sistemi lineari quadrati: teorema di Cramer.

Determinante di una matrice quadrata. Determinante di una matrice elementare. Matrici singolari. Rango ed invertibilità delle matrici non singolari. Calcolo del determinante mediante l'algoritmo di Gauss. Determinante del prodotto di due matrici quadrate (teorema di Binet). Determinante dell'inversa di una matrice quadrata.

Testi/Bibliografia

- C. P. Simon, L. Blume: Matematica generale, Egea, Milano
- S. Foschi: Corso propedeutico di Matematica, Pitagora editrice, Bologna 
- M. Barnabei, F. Bonetti: Matrici e sistemi lineari, Pitagora editrice, Bologna
- G. Nicoletti: Matematica generale, voll. 1, 2, 3, Pitagora editrice, Bologna

Metodi didattici

Esposizione dei concetti, esempi illustrativi. Esposizione e dimostrazione dei teoremi e delle tecniche di calcolo. Esercizi in aula e a casa.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta selettiva obbligatoria. Prova orale obbligatoria. Prove parziali – Durante lo svolgimento del corso, si terranno tre prove parziali scritte, sulle seguenti parti del programma: I - Calcolo differenziale, II - Calcolo integrale, III - Algebra lineare. Possono accedere a tali prove, previa iscrizione alle apposite liste sul sito della Facoltà, gli studenti immatricolati nell'a.a. 11/12 e gli studenti fuori corso; non possono accedervi gli studenti iscritti al secondo ed al terzo anno. Le regole per la progressione nelle prove parziali sono pubblicate nella pagina degli avvisi del docente.

Strumenti a supporto della didattica

Lavagna.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giorgio Nicoletti