00006 - ALGEBRA SUPERIORE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente aumenta e rafforza le sue conoscenze algebriche su argomenti fondamentali ed avanzati, avendo acquisito ed essendo in grado di utilizzare autonomamente nozioni e risultati che, oltre alla loro importanza intrinseca, sono di supporto ad altri campi della matematica.

Contenuti

1. TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI DI GRUPPI FINITI

• Rappresentazioni di un gruppo G, G-moduli e G-sottomoduli.
• Algebra gruppo, rappresentazione permutazionale, rappresentazione regolare.
  
• Sottomoduli irriducibili e moduli completamente riducibili. Teorema di Maschke, G-omomorfismi e lemma di Schur.
• Struttura dell'algebra centralizzante di una rappresentazione matriciale.
• Prodotto tensoriale di spazi vettoriali. Prodotto tensoriale di matrici.
• Caratteri e funzioni di classe. La tavola dei caratteri. Relazioni di ortogonalita' dei caratteri.
• Struttura dell'algebra gruppo.
• Prodotto di caratteri. Caratteri e sottogruppi normali.
  
• Interi algebrici.
• Rappresentazioni del gruppo simmetrico.

2. ALGEBRE DI LIE

• Definizioni. Algebre di Lie lineari. Algebre di Lie classiche, triangolari e diagonali.
• Derivazioni e rappresentazione aggiunta. Algebre di Lie astratte.
• Ideali, centro, algebra derivata. Algebra di Lie semplice. Normalizzante e centralizzante. Algebre di Lie risolubili.
• Algebre di Lie nilpotenti. Teorema di Engel.
• Teorema di Lie. Decomposizione di Jordan.
• Criterio di Cartan. Forma di Killing.
• Decomposizione di un'algebra di Lie semisemplice. Decomposizione di Jordan astratta.
• Rappresentazioni e irriducibilità. Lemma di Schur.
• Elemento di Casimir. Teorema di Weyl.
• Rappresentazioni di sl_2.
• Algebre torali. Decomposizione di Cartan di un'algebra di Lie semisemplice.
• Proprietà di ortogonalità, di integralità e di razionalità.
• Cenni alla classificazione.
  

Testi/Bibliografia

1. BRUCE E. SAGAN. The Symmetric group. Representations, Combinatorial algorithms, and Symmetric functions. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 203. Springer-Verlag, New York,
   2001.
2. JAMES E. HUMPHREYS. Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste nella risoluzione di due serie di problemi ed esercizi assegnati durante il corso e da una prova orale di carattere teorico.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~mmorigi/algsup_m/algsup09-10.html

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fabrizio Caselli

Consulta il sito web di Marta Morigi