28622 - ANALISI MATEMATICA T-A (L-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscere gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di una variabile reale, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

Premesse: N,Z,Q,R, relazioni di ordine: minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Dominio e condominio di una funzione, funzioni, grafico, iniettività, suriettività , immagine, controimmagine, funzione inversa, funzione composta. Principio di induzione. Densità  di Q in R. Funzioni elementari (funzione ad esponente intero, radice n-ma, esponenziale, logaritmo, funzioni circolari ed inverse, funzione valore assoluto).
Limiti Intorni, punti di accumulazione. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro. Proprietà  del limite: unicità , località , locale limitatezza; proprietà  algebriche del limite e teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Continuità  e derivata di una funzione di variabile reale a valori in R. Simboli di Landau. Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate. Limiti notevoli (*).
Continuità  Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità  della funzione composta. Permanenza del segno. Proprietà  delle funzioni continue definite su intervalli: teorema di Weierstrass, teorema di Bolzano, teorema degli zeri, teorema su invertibilità  e monotonia, teorema di continuità  della funzione inversa.
Derivazione e applicazioni Interpretazione geometrica e meccanica della derivata, derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni(*), regola di Leibniz(*), derivata della funzione reciproca(*), derivata della funzione inversa(*), derivata della funzione composta. Proprietà  delle funzioni derivabili su intervalli: teorema di Rolle, teorema di Lagrange, funzioni a derivata nulla e funzioni costanti, primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata(*). Formula di Taylor. Polinomio di Taylor, unicità  del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n(*), formula di Taylor con il resto di Peano (dimostrazione nei casi n=1 e n=2), proprietà  delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari: exp(x) (*), cos(x) (*), sin(x) (*), cosh(x)(*),senh(x)(*), (1+x)^a(*), 1/(1-x) (*), 1/(1+x)(*), 1/(1-x^2)(*), 1/(1+x^2)*, log(1+x) (*), applicazione ai limiti di forme indeterminate. Analisi qualitativa delle funzioni. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo; punti singolari di prima e seconda specie, punti angolosi, cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari, i punti estremanti interni sono stazionari(*), condizioni sufficienti (mediante le derivate) perchè un punto sia estremante locale(*).
Integrazione e applicazioni Definizione di misura di Peano-Jordan per insiemi limitati di RxR, misura interna e misura esterna. Definizione di integrale di Riemann per funzioni non negative, limitate definite su intervalli limitati come misura del sottografico. Parte positiva e parte negativa di una funzione e integrale di una funzione limitata di segno variabile su un intervallo limitato. Proprietà  dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Le funzioni continue tranne un numero finito di punti sono integrabili. Le funzioni monotone sono integrabili. Relazione fra integrabilità  di f e misura nulla dell'insieme delle discontinuità  di f (con esempi). Teorema della media integrale(*). Funzione integrale e funzione primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni continue(*). Regola di Torricelli(*). Teorema di integrazione per parti (*) e teorema di integrazione per sostituzione(*). Integrazione delle funzioni razionali.

Osservazione: per gli argomenti contrassegnati da asterisco si richiede la dimostrazione

Testi/Bibliografia

Simonetta Abenda: Analisi Matematica, Edizioni Esculapio;
Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica, parte I, Edizioni Esculapio.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame è in forma scritta (esercizi e domande di teoria). Per ogni ulteriore informazione in proposito (ivi compreso il calendario delle prove d'esame) si prega di fare riferimento alla pagina web della docente.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.ciram.unibo.it/~abenda/didattica/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda