29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenze di base di calcolo matriciale e di geometria analitica, inquadrate nell'ambito dell'algebra lineare.

Contenuti

Nozioni preliminari.
Insiemi e funzioni. Logica elementare. Numeri e operazioni. Prerequisiti.

Vettori geometrici.
Vettori applicati. Coordinate. Equazioni di rette e piani. Vettori liberi.

Il metodo di eliminazione di Gauss.
Esempi e definizioni. Sistemi triangolari superiori. Il metodo di eliminazione di Gauss.

Spazi vettoriali.
Spazi e sottospazi. Combinazioni lineari. Indipendenza lineare e basi. Esistenza delle basi. Somma e intersezione di sottospazi. Numeri complessi. Potenze e radici. Il teorema fondamentale dell'algebra.

Applicazioni lineari.
Definizioni ed esempi. Nucleo ed immagine.

Sistemi lineari.
Sistemi a scala. La riduzione a scala. Tecniche di calcolo. Equazioni parametriche e cartesiane. Sottospazi affini.

Matrici ed applicazioni lineari.
Composizione e isomorfismi. Prodotto di matrici. Matrici invertibili.

Cambiamenti di base.
Matrice di cambiamento di base. Matrice associata ad un'applicazione lineare.

Determinanti.
Esistenza e unicità. Sviluppi di Laplace. Teorema di Binet. Teorema degli orlati.

Geometria affine.
Equazioni di rette e piani. Punti e rette. Punti e piani. Rette e rette. Rette e piani. Piani e piani. Sistemi di riferimento affini. Orientazione. Cenni alle affinità e alla geometria proiettiva.

Prodotti scalari.
Definizioni ed esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortogonali. Proiezioni ortogonali. Prodotti scalari e matrici. Endomorfismi simmetrici e isometrie.

Geometria euclidea.
Angoli e ortogonalità. Distanze. Il prodotto vettore. Isometrie e isometrie lineari dello spazio.

Autovalori e autovettori.
Definizioni ed esempi. Il polinomio caratteristico. Molteplicità.

Il teorema spettrale.
Basi ortonormali di autovettori. Endomorfismi triangolabili. Un criterio di positività.

Coniche e quadriche.
Coniche. Classificazione affine di coniche e quadriche. Fasci di coniche. Coni, cilindri e sfere.

IL PROGRAMMA PREVEDE ESERCITAZIONI SUI CONCETTI TEORICI ILLUSTRATI NEL CORSO.

Testi/Bibliografia

Testo ufficiale del corso: Marco Abate e Chiara de Fabritiis, "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", McGraw-Hill, 2006.
 
Testi complementari per gli esercizi (NB: questi testi non sono indispensabili per seguire il corso):
S. Lipschutz, M. Lipson, "Algebra lineare", Collana Schaum's, McGraw Hill.
L. Gualandri, Algebra Lineare e Geometria - Quiz risolti d'esame, Editrice Esculapio, Bologna, 2007.
A. Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra lineare e geometria - Quiz ed esercizi commentati e risolti", Progetto Leonardo, Bologna, 2005.
L. Gualandri, "Esercizi di algebra lineare e geometria", Progetto Leonardo, ed. Esculapio, Bologna, 1995.

Metodi didattici

Il corso consiste di lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Durante il corso si terrà una prova facoltativa intermedia che permetterà agli studenti e al docente di verificare come stia procedendo l'apprendimento. Le modalità di svolgimento degli esami che seguiranno il corso è illustrata alla pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/modalitaesame2009.shtml.

Strumenti a supporto della didattica

Durante il corso verranno utilizzati lucidi e programmi di calcolo e presentazione grafica per illustrare i concetti teorici presentati.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~frosini/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Patrizio Frosini