00470 - GEOMETRIA

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso si propone di dare le conoscenze basilari per quanto attiene la geometria analitica, l'algebra vettoriale e la geometria descrittiva, in tutti gli aspetti direttamente e indirettamente connessi con l'identificazione sul piano e nello spazio di forme geometriche.

Contenuti

Strutture algebriche: gruppi; anelli; campi.

 Matrici: definizioni iniziali; operazioni; matrici ridotte e trasformazione elementari; determinante e matrice inversa.

 Sistemi lineari (versione operativa): teorema di struttura; metodi risolutivi: formula di Leibniz-Cramer e procedimento di Gauss-Jordan.

 Spazi vettoriali: definizioni iniziali  ed esempi; sottospazi; sistemi di generatori; dipendenza  lineare; basi, dimensione e  componenti di un vettore. Rango di una matrice. Sistemi lineari: il teorema di Rouché-Capelli. Somma e intersezione di sottospazi; rappresentazione di sottospazi vettoriali.

 Trasformazioni lineari: linearità;  isomorfismi; nucleo e immagine; matrici associate ad una trasformazione lineare; matrici del cambiamento di base  e similitudine di matrici.

Autovalori  e autovettori:  autovalori e autospazi di un  endomorfismo; polinomio caratteristico; diagonalizzazione di  matrici.

Spazi vettoriali euclidei: prodotti scalari e norme; ortogonalità, basi ortonormali; operatori ortogonali; complemento ortogonale, matrici simmetriche e teorema spettrale. 

Forme bilineari  e quadratiche:  forme bilineari e loro rappresentazione matriciale; congruenza di matrici; forme quadratiche e forme canoniche. 

Spazi  euclidei: spazi affini ed  euclidei; sottospazi; sistemi di riferimento; rappresentazione di sottospazi, parallelismo, ortogonalità, trasformazioni ortogonali.

Iperquadriche: definizione e classificazione delle coniche e quadriche reali.

Testi/Bibliografia

Testo ufficiale del corso: M. R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli, "Geometria", Progetto Leonardo, ed. Esculapio, Bologna, 2002.

Per quanto riguarda gli esercizi, durante il corso saranno pubblicati sulla pagina web http://www.dm.unibo.it/~cattabri/geo  fogli di esercizi con soluzioni sugli argomenti svolti a lezione. Sulla stessa pagina sarà possibile scaricare esercizi "tipo esame".  Se si desidera il supporto di un testo, qualunque libro di esercizi di geometria e algebra lineare può andare bene. Naturalmente bisogna fare attenzione alle differenze di notazione. Ecco alcuni titoli:

1. A. Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra Lineare e Geometria", Progetto Leonardo, ed. Esculapio, Bologna, 2005. 
2. L. Gualandri, "Algebra Lineare e Geometria - Quiz risolti d'esame", Editrice Esculapio, Bologna, 2007.
3. M. Abate, C. de Fabritiis, "Esercizi di Geometria", McGRaw-Hill.
4. S. Lipschutz, M. Lipson, "Algebra lineare", Collana Schaum's, McGraw-Hill.
5. G. Parigi, A. Palestini, "Manuale di Geometria - Esercizi", ed. Pitagora, Bologna, 2003.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. Entrambe sono obbligatorie e abbracciano l'intero programma svolto a lezione. La prova scritta ha una durata complessiva di due ore ed è composta da due parti: una scheda di teoria con  domande a risposta multipla ed un foglio di esercizi. La scheda di teoria deve essere compilata durante la prima ora in totale assenza di ausili, mentre durante la successiva ora, destinata agli esercizi, è consentito  (e  consigliato)  avvalersi di libri, appunti, mezzi di calcolo ecc. Le schede di teoria vengono raccolte tutte insieme allo scadere della prima ora.  Il punteggio totale della prova scritta è la somma dei punteggi conseguiti nelle due parti.

PROVE PARZIALI: lo scritto sull'intero programma può essere sostituito da  due prove parziali. Il primo parziale  si svolge circa a metà corso e verte su tutto il programma svolto fino a quel momento. Il secondo parziale si svolge a fine corso e verte sulla rimanente parte di programma. Ogni parziale è strutturato come descritto sopra.

Per  sostenere il secondo parziale è necessario ottenere un punteggio non inferiore a cinque sia nel test che nella parte di esercizi del primo parziale. Il voto finale dello scritto è la media aritmetica dei punteggi conseguiti nei due parziali (approssimata per eccesso).

Per essere ammessi alla prova orale è necessario conseguire un punteggio totale nella prova scritta non inferiore a 15 e un punteggio in ciascuna parte non inferiore a 5.

Link ad altre eventuali informazioni

http:// www.dm.unibo.it/~cattabri

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Alessia Cattabriga