23012 - COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA LS

Conoscenze e abilità da conseguire

L'obbiettivo del corso e' consolidarela preparazione matematica degli studenti.

Saranno fornite conoscenze specifiche riguardo alle equazioni differenziali ordinarie lineari e non lineari e alle equazioni a derivate parziali lineari del primo e del secondo ordine, illustrando le più significative condizioni ai limiti per i vari tipi di equazioni. Saranno sviluppati alcuni strumenti necessari per tale studio e che presentano anche un autonomo interesse, quali le serie di Fourier e le trasformate di Fourier e di Laplace.

Gli studenti conseguiranno l'abilita' necessaria a modellare con questi sofisticati strumenti, problemi di ingegneria.

 

 

Contenuti

Problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie:

Equazioni omogenee: Problemi di Sturm Liouville, Definizione di autovalori e autovettori.

Equazioni non omogenee:esistenza ed unicita’ della soluzione, Funzione di Green.

Elementi di analisi funzionale

Spazi vettoriali: definizione, definizione di norma, ed esempi di norme nello spazio delle funzioni continue. Definizione di prodotto scalare.

Proiezioni ortogonali: Teorema sull’esistenza della proiezione ortogonale, Disuguaglianza di Bessel

Serie di Fourier

Polinomi di Fourier: Polinomi trigonometrici, di Fourier, Serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel

Serie di Fourier, convergenza puntuale: Calcolo di coefficienti di Fourier, per funzioni pari dispari, criterio di Dini per la convergenza puntuale delle serie

Altre condizioni di convergenza

Esercizi di applicazioni alle equazioni differenziali

Il metodo di separazione delle variabili

Il laplaciano in due dimensioni: L’equazione di La place sul rettangolo, Il problema di Dirischlet sul cerchio, Il principio di massimo per l’equazione di Laplace, unicita’ del problema di Dirichlet.

L’equazione del calore in una dimensione: L’equazione del calore su una sbarra limitata, principio di massimo per il problma ai dati iniziali.

L’equazione delle onde: L’equazione delle onde su un intervallo limitato, Il metodo di d’Alambert

Funzioni di variabile complessa

Funzioni olomorfe: derivata, condizioni di Cauchy Riemann,

Integrazione in campo complesso teorema di Cauchy, formula di Cauchy

Punti singolari residui, teorema dei residui, ed esercizi relativi.

Trasformata di Laplace

Introduzione alla trasformata: definizione

Proprieta’ della trasformata

Aplicazione alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie.

Trasformata di Fourier

Introduzione alla trasformata: Definizione di trasformata, trasformate di funzioni pari e di funzioni dispari reali, inversione della trasformata, formula di dualita’

Proprieta’ della trasformata di Fourier,derivata della trasformata, trasformata della derivata, convoluzione.

Applicazione alla soluzione dell’ equazione del calore su una retta.

Derivazioni nel senso delle distribuzioni

Definizione di derivata distribuzionale, delta di Dirac,

Soluzione fondamentale dell’ equazioni del calore e di Laplace.

Soluzione dell'equazione di Laplace su tutto lo spazio e problema di Cauchy per l'equazione del calore su tutto lo spazio

Testi/Bibliografia

Barozzi: Matematica per l’ ingegneria, Zanichelli ed.

Metodi didattici

Durante le lezioni verranno presentati aspetti teorici dei problemi legati alle equazioni a derivate parziali, e alle trasformate di Laplace e Fourier, Saranno inoltre svolte esercitazioni, per fornire agli studenti la possibilità di impratichirsi con gli strumenti e i metodi delineati.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame di Analisi Matematica LS consta di due prove, una scritta ed una orale La prima è costituita da alcuni esercizi e ha la durata di 2 ore. 
Gli studenti che superano la prova scritta dovranno altresi superare la prova orale. 

Strumenti a supporto della didattica

Tutto il materiale fornito dal docente come supporto alla didattica si trova alla pagina http://www.dm.unibo.it/~citti/. In particolare sono pubblicati in questo sito esercizi su ciascuna parte del programma, ed esemplificazioni delle prove intermedie, e della prova finale.

 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giovanna Citti