44939 - MECCANICA DELLE STRUTTURE L

Conoscenze e abilità da conseguire

L'insegnamento intende ampliare le ipotesi e le metodologie di calcolo assunte nel corso di Scienza delle Costruzioni, introducendo gli elementi di base per l'analisi del comportamento dinamico e non lineare delle strutture.

Contenuti

ANALISI MATRICIALE DELLE STRUTTURE
1)Sistema di tre molle e due nodi liberi: equazioni e schema primale delle teorie fisiche. 2)Dimostrazioni del principio dei lavori virtuali, imposizione dell'equilibrio e della congruenza, relazione tra gli operatori. 3)Principi delle forze e degli spostamenti virtuali, formulazioni alternative della congruenza e dell'equilibrio. 4) Sistema di tre molle e due nodi liberi: equazioni e schema duale delle teorie fisiche. 5)Lavori di deformazione, energia elastica e complementare, formulazione alternativa delle equazioni costitutive, equazioni nello schema delle teorie fisiche. 6)Principio di stazionarietà e di minimo dell'energia potenziale totale e complementare. 7)Formulazioni delle equazioni fondamentali attraverso i principi di stazionarietà, equazioni e schema delle teorie fisiche. 8) Matrice di rigidezza a sforzo assiale: schema delle equazioni e delle variabili, metodo basato sul principio dello spostamento unitario, metodo diretto. 9)Matrice di rigidezza a sforzo assiale: schema delle equazioni e delle variabili, metodi basati sul teorema di Castigliano e sul principio di stazionarietà dell'energia potenziale totale. 10)Matrice di rigidezza di un sistema di aste in serie: metodo diretto, metodo basato sul teorema di Castigliano, matrici di collocazione. 11)Matrice di rigidezza di un sistema di aste in serie: assemblaggio delle matrici di rigidezza, imposizione delle condizioni di vincolo e formulazione generale, illustrazione grafica della procedura di assemblaggio. 12)Matrice di rigidezza dell'asta nel riferimento globale: metodo diretto, procedimento alternativo. 13)Travatura reticolare piana: vettore dei carichi e degli spostamenti nodali, relazioni nella forma espansa, matrice topologica, somma delle matrici di rigidezza, soluzione formale del problema. 14) Matrice di rigidezza a flessione: equazioni nello schema delle teorie fisiche, funzioni di forma, determinazione della matrice di rigidezza attraverso il metodo diretto. 15)Matrice di rigidezza a flessione: equazioni nello schema delle teorie fisiche, funzioni di forma, determinazione della matrice di rigidezza attraverso il teorema di Castigliano. 16)Costruzione della matrice di rigidezza 8x8 di una trave con incastro e appoggio, sollecitata da carichi concentrati. Soluzione formale del sistema di equazioni lineari. 17)Costruzione della matrice di rigidezza 8x8 di una trave con incastro e appoggio, sollecitata da carichi concentrati. Numerazione dei nodi per raggruppare termini noti e incogniti. 18)Elementi finiti: introduzione, discretizzazione della struttura e modello di spostamento. 19)Matrice di rigidezza dell'elemento triangolare. 20)Carichi nodali equivalenti per l'elemento finito triangolare. Elemento rettangolare. 21)Schema delle variabili e delle equazioni di un elemento finito. Deduzione dell'equazione di bilancio. 22) Elemento tridimensionale. 23) Elementi finiti di ordine superiore. 24)Equazioni del moto di un sistema discreto. Matrice di massa consistente per la trave a due gradi di libertà. 25) Descrizione del ponte sullo stretto di Messina. 26) Matrice di rigidezza a torsione.

ONDE ELASTICHE
1)Equazioni ed operatori di equilibrio, di congruenza e di legame elastico. 2)Equazioni indefinite di equilibrio in termini di spostamenti: notazione estesa, matriciale ed operatoriale, nel caso statico ed in quello dinamico. 3)Schema delle teorie fisiche. 4) Onde tridimensionali longitudinali.

FORMULAZIONI DEL PROBLEMA DEL CAVO
1)Equazioni di equilibrio, di congruenza, di legame e fondamentale. 2) Formulazione classica o forte del problema. Formulazione debole o generalizzata. 3) Operatori lineari, funzionali., formulazione variazionale .4)Fune sollecitata da carico concentrato e distribuito ( E. Viola, Esercitazioni S.d. Costruzioni 1).

FORMULAZIONE DEL PROBLEMA DELLA TRAVE PIANA E DELLA PIASTRA
1) Geometria della deformazione, caratteristiche di deformazione e componenti di spostamento, equazioni di congruenza in differenti notazioni. 2)Equazioni indefinite di equilibrio e di legame elastico. 3)Principio dei lavori virtuali, equazione fondamentale, schema delle teorie fisiche. 4)Energia elastica di deformazione in termini di deformazioni, di sforzi interni ed in forma mista. 5)Energia potenziale totale, principi di stazionarietà e di minimo. 6)Linea elastica per la mensola di Thimoshenko sollecitata da forza e coppia concentrata. 7)Vibrazioni flessionali delle piastre sottile. Ipotesi cinematica e componenti di deformazione. 8)Tensioni e caratteristiche di sollecitazione. 9)Equazioni indefinite di equilibrio. 10)Equazioni di legame elastico ed equazione fondamentale. 11)Schemi delle teorie fisiche nel caso statico ed in quello dinamico. 12)Vibrazioni libere delle piastre.

METODO GENERALIZZATO DI QUADRATURA DIFFEERENZIALE
1)Definizione di quadratura differenziale, calcolo delle derivate di primo ordine e di ordine n-esimo. 2)Polinomi di Lagrange, determinazione dei coefficienti di ponderazione per la derivata prima e per le derivate di ordine n. 3)Tipi di discretizzazione del dominio e loro caratteristiche. 4)Applicazione del G.D.Q. Method alle funzioni potenza e radice quadrata. Confronto dei risultati numerici ottenuti per le due funzioni. 5)Tecnica dei “Delta points” e sua applicazione alla trave di Eulero-Bernoulli. 6)Trave di Eulero-Bernoulli a sezione variabile: deduzione dell'equazione fondamentale. 7)Applicazione del G.D.Q. Method alle travi a sezione costante e variabile, scrittura del sistema fondamentale e delle condizioni al contorno, determinazione dei parametri cinematici e delle caratteristiche di sollecitazione. 8)Esempi numerici: trave a mensola di sezione costante; trave a sezione variabile doppiamente appoggiata con andamento lineare dell'altezza; trave a mensola di sezione variabile con andamento lineare dell'altezza; trave doppiamente incastrata a sezione variabile con andamento quadratico dell'altezza. 9)Matlab: operazioni tra matrici (inversa, trasposta, determinante, autovalori e composizioni di matrici, divisione a destra e a sinistra, metodo di Gauss). 10) Differenza tra file script e function e loro sintassi. 11)Istruzioni di controllo: sintassi e significato logico di return, for, while, if, else, elseif e end. 12) Operatori logici e relazionali: sintassi e differenze. 13)Significato e sintassi di: clc, clear, format , input, menu, subplot, plot, set, gca , gcf, text, line, linspace, interp1, spline. 14)Matrici tridimensionali in Matlab: sintassi e applicazione nella tecnica G.D.Q.

FONDAMENTI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE
1)Introduzione all'analisi dinamica delle strutture: modellazione matematica del problema dinamico, modello geometrico o strutturale, modello delle azioni esterne, modello meccanico o reologico del materiale. 2) Richiami e formulazione unificata dei problemi: numeri complessi, moti armonici, seconda legge di Newton, formulazione unitaria dei problemi. 3) Moto libero dell'oscillatore ad un grado di libertà: oscillatore semplice non smorzato, equazione del moto, frequenza e periodo, ampiezza e fase del moto, identificazione strutturale, oscillatore equivalente, esempio 3.1. 4) Oscillatore semplice smorzato, equazione del moto, sistema criticamente smorzato, sovrasmorzato, sottosmorzato. 5) Eccitazione armonica nei sistemi ad un grado di libertà: oscillatore semplice non smorzato, soluzione del moto oscillatorio forzato, illustrazione dell'ampiezza e della fase della risposta a regime, funzione di risposta in frequenza. 6) Condizione di risonanza (cenno). 7) Eccitazione armonica in presenza di smorzamento, equazione del moto, coefficiente di amplificazione dinamico. 8) Risposta in frequenza, diagrammi del coefficiente di amplificazione dinamico e della fase, zona quasi statica, di risonanza e sismografica. 9) Moto impresso al supporto, soluzione in termini di spostamento relativo, ampiezza della risposta e del moto impresso alla base, squilibrio rotante, schema di funzionamento della vibrodina (esercizio 4.2). 10) Smorzamento nei sistemi ad un grado di libertà: tipi di smorzamento, smorzamento viscoso, energia dissipata dallo smorzatore viscoso, smorzamento isteretico (strutturale), smorzamento per attrito (di Coulomb), ciclo di isteresi per attrito coulombiano, smorzamento viscoso equivalente (esempio 5.1) . 11) Metodi per determinare lo smorzamento, decremento logaritmico per smorzamento viscoso, curva di risposta alla risonanza, metodo dell'ampiezza di banda (esempio 5.2). 12) Cenni sui metodi dell'energia: principio di conservazione dell'energia, metodo di Rayleigh (esempio 6.1). 13) Equazione di Lagrange per il sistema ad un grado di libertà. 14) Principio di Hamilton, altra forma dell'equazione di Lagrange. 15) Eccitazione periodica ed analisi armonica: funzioni periodiche e serie di Fourier. 16) Teorema di Dirichlet, esempio 8.1. 17) Forzanti generiche e carichi impulsivi: impulso e quantità di moto, eccitazione impulsiva, funzione di risposta all'impulso, impulso applicato all'istante iniziale, esempio 9.1. 18) Eccitazione arbitraria, condizioni di carico particolari: forza costante, impulso rettangolare, esempio 9.2. 19) Sistemi a due gradi di libertà: scrittura e soluzione dell'equazione del moto: metodo dell'equilibrio dinamico. 20) Sistemi a N gradi di libertà: equazioni del moto, vibrazioni libere: problema agli autovalori, spettro delle frequenze e forme modali, equazioni orarie, Esempio 11.1. 21) Ortogonalità dei modi normali di vibrare, massa e rigidezza generalizzata. 22) Condizione di ortonormalizzazione. 23) Teorema di espansione ed analisi modale. 24) Condizioni iniziali non omogenee: equazioni normali, determinazione delle costanti. 25) Sistema smorzato ad N gradi di libertà: formulazione matriciale, strutture debolmente smorzate, smorzamento proporzionale. 26) Riduzione alla forma canonica. 27) Moto impresso ai vincoli del sistema: equazioni differenziali del moto, pulsazioni naturali e forme modali, grandezze generalizzate o modali, equazioni disaccoppiate del moto, risposta nello spazio modale, risposta modale. 28) Rapporto di Rayleigh. 29) Sistemi generalizzati a più gradi di libertà: matrice di flessibilità e di rigidezza. Esempi di calcolo dei coefficienti di rigidezza col metodo diretto. 30)Vibrazioni delle piastre sottili. Ipotesi cinematica e componenti di deformazione. 31)Tensioni e caratteristiche di sollecitazione. 32)Equazioni indefinite di equilibrio ed equazioni di legame elastico. 33) Equazione fondamentale, schema delle teorie fisiche, variabile energetica. 34)Vibrazioni libere delle piastre, piastre rettangolari.

Testi/Bibliografia

VIOLA  E., “Introduzione all'analisi matriciale delle strutture”, Pitagora Editrice, Bologna, 1996.

VIOLA  E., “Fondamenti di Dinamica e Vibrazione delle Strutture”, Pitagora Editrice, Bologna, 2001, Vol.1.

Metodi didattici

Il programma del corso viene interamente svolto durante le ore di lezione. Le lezioni sono affiancate da esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta e successiva prova orale.

Strumenti a supporto della didattica

Gli strumenti di supporto alla didattica in aula sono: la lavagna luminosa e il videoproiettore.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Erasmo Viola