17908 - GEOMETRIA E ALGEBRA L-A

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza dei concetti elementari dell'algebra vettoriale e matriciale. Conoscenza dei primi rudimenti della geometria analitica.

Contenuti

Teoria

Equazioni e sistemi lineari.
Alcune strutture algebriche. Operazioni standard su Kn. Sistemi lineari.

Matrici.
Definizioni iniziali. Operazioni. Sistemi lineari e matrici.

Spazi vettoriali.
Definizioni iniziali. Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sottospazio somma. Spazi riga e colonna di una matrice.

Basi.
Dipendenza lineare. Basi e dimensione. Rango di una matrice. Sistemi lineari.

Applicazioni lineari.
Linearità. Isomorfismi. Nucleo e immagine.

Rappresentazioni matriciali di applicazioni lineari.
Applicazioni lineari, basi, matrici.

Determinanti.
Permutazioni. Determinante. Proprietà dei determinanti. Sviluppo di Laplace. Matrice inversa. Determinante di un operatore lineare. Rango di una matrice. Sistemi lineari.

Rappresentazioni di sottospazi.
Rango, nucleo, immagine. Rappresentazioni cartesiana e parametrica.

Equazioni algebriche .

Autovalori.

Forme bilineari e quadratiche.
Matrici particolari. Forme bilineari. Rappresentazione matriciale. Matrici simmetriche. Forme quadratiche. Forme canoniche.

Spazi vettoriali euclidei.
Prodotti scalari. Ortogonalità. Insiemi ortonormali. Operatori ortogonali. Ortogonalità fra sottospazi. Proiezione ortogonale su un sottospazio.

Spazi euclidei.
Spazi (affini) ed euclidei. Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi. Parallelismo. Ortogonalità. Trasformazioni ortogonali. Simmetrie. Proiezioni ortogonali su sottospazi. Simplessi. Volumi.

Iperquadriche.
Cenni sulla classificazione di coniche e quadriche reali. In particolare:
Cap. 10: solo par. 3. Appendice B. Cap. 12: Def. 12.3, 12.4, 12.6, Prop. 12.5, Def. 12.7, 12.8, Prop. 12.6, Def. 12.15, 12.16, 12.18, Teor. 12.32, Prop. 12.30 (in quest'ordine).

Esercitazioni

Calcolo di determinanti e ranghi di matrici. Discussione e risoluzione di sistemi lineari. Reperimento e rappresentazione di applicazioni lineari. Determinazione delle equazioni di sottospazi vettoriali ed affini. Passaggio fra le rappresentazioni. Calcolo di autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Risoluzione di problemi di parallelismo ed ortogonalità. Rappresentazione e studio di forme bilineari e quadratiche. Classificazione di coniche.

Testi/Bibliografia

Testi consigliati.

• Casali M.R., Gagliardi C., Grasselli L., "Geometria", Progetto Leonardo, Bologna, 2002 (testo ufficiale del corso).

 

 

Per gli esercizi, ovviamente la prima cosa da fare è scaricare le prove d'esame e tentare di risolverle senza aiuto, poi confrontare con le soluzioni proposte. Se si desidera il supporto di un testo, qualunque libro di esercizi di geometria e algebra lineare può andare bene. Naturalmente bisogna fare attenzione alle differenze di notazione. Riporto i titoli di due libri di esercizi redatti da colleghi della nostra Facoltà.

• A. Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra lineare e Geometria - Quiz ed esercizi commentati e risolti", Progetto Leonardo, Bologna, 2005.
• L. Gualandri, "Esercizi di algebra lineare e geometria", Progetto Leonardo, Bologna, 1995.
• G. Parigi, A. Palestini, "Manuale di Geometria, Esercizi", Pitagora Editrice Bologna, 2003.

Metodi didattici

Lezione tradizionale.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta obbligatoria ("prova finale") ed una prova orale facoltativa (da cui può essere sospeso l'esonero a giudizio del docente). Entrambe abbacciano l'intero programma svolto a lezione.

La prova scritta è composta da due parti: una scheda di teoria con nove domande a risposta multipla e un foglio di esercizi. La scheda di teoria dev'essere compilata durante la prima ora in totale assenza di ausilii, mentre durante la seconda ora, destinata agli esercizi, si consente ed anzi si raccomanda di avvalersi di libri, appunti, mezzi di calcolo ecc. Le schede di teoria vengono raccolte tutte insieme allo scadere della prima ora.

ATTENZIONE: la prova viene considerata insufficiente se nella parte di teoria non si sono raggiunti almeno 5,5 punti. In tal caso (che verrà segnalato nella lista dei voti come N.C., cioè Non Classificato) non verrà corretta la parte relativa agli esercizi. Gli esercizi verranno corretti se lo studente chiederà di presentarsi comunque alla prova orale, e naturalmente su richiesta durante il ricevimento studenti.
Qualora la soglia di 5,5 punti di teoria sia raggiunta o superata, il voto della prova finale (nel seguito indicato con F) è semplicemente la somma dei punteggi conseguiti nelle due parti.

Durante il corso si svolgono due prove in itinere, una consistente nella sola scheda di teoria, l'altra nel solo foglio di esercizi. Il punteggio delle due prove è espresso in modo identico a quanto viene fatto per la prova finale, cioè ognuna permette di raggiungere un massimo di 18 quindicesimi. Per la prova in itinere di sola teoria NON si applica la soglia di 5,5 punti e un eventuale voto negativo viene riportato a zero.

Qualunque sia il voto conseguito in una prova in itinere (o anche non avendo partecipato), ci si può presentare all'altra, e naturalmente alla prova finale, che è obbligatoria.

La formula, non semplicissima, con cui si tiene conto delle prove in itinere, è stata studiata per dare la massima garanzia allo studente. Eccola:

P = (2*voto_prova_in_itinere_migliore + voto_prova_in_itinere_peggiore)*2/3;

ne viene un voto in trentesimi (che però può arrivare fino a 36);

F = voto_prova_finale.

Viene registrato come voto definitivo (o usato come voto di riferimento per un eventuale orale) l'intero più vicino a:

max{F, (P+F)/2}

nel senso che, però, si registrano come 30 i voti 30, 31, 32, e come lode i 33, 34, 35, 36. L'approssimazione all'intero più vicino viene effettuata solo nell'ultimo passaggio. Il voto è registrabile se nella prova finale sono stati raggiunti almeno 5,5 punti di teoria e almeno 18 nel computo totale.

ATTENZIONE: è comunque concesso presentarsi alla prova orale anche con voto definitivo inferiore a 18 o con punteggio della prova di teoria inferiore a 5,5. In tal caso, però, l'eventuale bocciatura verrà registrata a verbale.
Chi, con voto definitivo sufficiente, richiede l'orale, automaticamente rinuncia all'esonero dall'orale stesso, cioè alla semplice registrazione senza orale.

I voti conseguiti nelle prove in itinere ed i voti sufficienti conseguiti nelle prove finali d'esame hanno validità 12 mesi.

Le iscrizioni agli appelli (NON richieste per le prove in itinere né per gli orali) si effettuano su Uniwex.
Presentarsi alle prove con il tesserino universitario.

Strumenti a supporto della didattica

Si possono scaricare le prove d'esame dell'Anno Accademico 2004-2005 e dell'Anno Accademico 2005-2006.

La copia cartacea delle prove d'esame è disponibile presso il centro fotocopie di Ingegneria.

E` consigliata la visita ai siti del Prof. Luciano Gualandri e del Progetto Matematic@.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~ferri/hm/progbola.htm