96756 - ADVANCED MATHEMATICAL ANALYSIS

Conoscenze e abilità da conseguire

At the end of the course, students will possess the knowledge of the main instruments of advance mathematical analysis: Sobolev spaces, spaces of generalized functions, Fourier transform. These tools will be the main instruments necessary to the quantitative and qualitative study of properties of the solutions to PDEs.

Contenuti

Gli argomenti trattati possono subire modifiche in base alla preparazione degli studenti, ma in linea di massima sono i seguenti:

PARTE I: Teoria della misura

• Richiami di strumenti di analisi reale: limiti inferiori e superiori, cenni sulle cardinalità.
• Teoria della misura di base:  misurabilità di insiemi e di funzioni, teoremi di convergenza. Esempi patologici (insiemi di Cantor) e loro uso nello studio di insiemi non misurabili o non Boreliani.
• Misure di Lebesgue e di Hausdorff e loro confronto.
• Ripasso sugli spazi L^p.
• Funzioni continue e misure: il Teorema di Riesz.
• Principi fini della teoria della misura: teoremi di ricoprimento di Vitali e Besicovitch, differenziazione di misure, Teorema di Rademacher, Teorema dei punti di Lebesgue.

PARTE II: Spazi di Sobolev

• Definizione e motivazione
• Approssimazioni con funzioni lisce
• Teoremi di embedding (disuguaglianze di Sobolev, Poincaré e traccia)
• Richiami di Fourier e spazi di Sobolev frazionari.

 

Testi/Bibliografia

Rudin: Real and harmonic analysis

Evans-Gariepy: Measure Theory and fine properties of functions

Evans : PDEs

 

Metodi didattici

Lezioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto alla fine del corso, basato soprattutto sui risultati teorici discussi.

Strumenti a supporto della didattica

Oltre ai libri proposti, dispense e materiale proposti su virtuale.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Berardo Ruffini