77988 - PRINCIPI DELLA MATEMATICA (1) (LM)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha una visione critica dell'odierno sviluppo della ricerca sui fondamenti della matematica (incompletezza dei sistemi assiomatici e indipendenza), che ormai, oltre alla tradizionale importanza per la didattica, è strettamente intrecciato con le ricerche logiche e con le problematiche legate alla teoria della computabilità, legandosi così anche allo sviluppo dell'informatica teorica.

Contenuti

La Teoria dei Modelli è quel ramo della Logica che si occupa delle relazioni che intercorrono tra linguaggio logico e strutture matematiche, o, ancor meglio, che utilizza il linguaggio logico del primordine come vero e proprio strumento di indagine matematica. Il Logico infatti non usa la riga o il compasso “per fare matematica”, bensì il linguaggio stesso, tramite il quale costruisce le teorie dei modelli che intende descrivere. Quali relazioni intercorrono dunque tra teorie sintattiche e strutture matematiche descritte? In quale modo le proprietà delle prime si riflettono sulle proprietà delle seconde, e viceversa? Ad esempio, teorie al primordine che stiano in una certa relazione rispetto ai propri modelli e alle loro sottostrutture possono essere assiomatizzate facendo ricorso unicamente a formule universali. Un altro esempio: teorie matematiche che soddisfano una determinata proprietà rispetto al passaggio a sottomodelli godono dell’eliminazione dei quantificatori (cioè la teoria dimostra che ogni formula chiusa del suo linguaggio è equivalente ad una formula chiusa senza quantificatori), il che implica la decidibilità di quella teoria. La Teoria dei Modelli è pertanto un ramo della Logica i cui risultati possono avere delle ricadute dirette sulla nostra conoscenza delle strutture matematiche (sono infatti note sue rilevanti applicazioni nell’ambito della geometria algebrica in relazione alla soluzione di congetture importanti).

Scopo del corso è quello di delineare le nozioni di base della Teoria dei Modelli secondo le seguenti linee: semantica tarskiana per il calcolo dei predicati; Teorema di Compattezza e sue conseguenze; teorie assiomatizzabili universalmente; conservazione di formule nella trasformazione di strutture; teorie matematiche decidibili; sottostrutture semplici ed elementari; teoremi di eliminazione dei quantificatori; insiemi definibili.

Per quanto riguarda i prerequisiti richiesti per una proficua frequentazione del corso sono sufficienti le nozioni algebriche di base fornite da un qualsiasi Istituto di Scuola Superiore e l’avere frequentato almeno un corso di alfabetizzazione logica. Le altre nozioni fondamentali verranno introdotte durante il corso.

Testi/Bibliografia

Testo di base saranno le dispense fornite dal docente. Come materiale integrativo si suggeriscono i seguenti volumi:

A. Marcja, C. Toffalori: Introduzione alla teoria dei modelli, Pitagora, 1998

D. Marker: Model theory: an introduction, Springer, 2002

Metodi didattici

Lezioni frontali con utilizzo della lavagna.

 

INIZIO CORSO: Lunedì 30 Gennaio 2016

ORARIO E SEDE DELLE LEZIONI:

Lunedì h. 17:00-19:00 Aula A via 100/300

Martedì 13:00-15:00 Aula B via 100/300

Giovedì 09:00-11:00 Aula B via 100/300

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L’esame consisterà in una prova orale nella quale lo studente dovrà dimostrare di avere compreso le nozioni ed i risultati di base della Teoria dei Modelli.

Strumenti a supporto della didattica

Verranno fornite dal docente dispense dattiloscritte relative al contenuto del corso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Guido Gherardi