- Docente: Riccardo Biagioli
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/02
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
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Corso:
Laurea Magistrale in
Matematica (cod. 5827)
Valido anche per Laurea Magistrale in Matematica (cod. 8208)
Conoscenze e abilità da conseguire
Alla fine del corso, lo studente conosce le rappresentazioni del gruppo simmetrico e gli oggetti combinatorici ad esse associati, quali i tableau di Young e le funzioni simmetriche. È in grado di applicare tali conoscenze allo studio del gruppo generale lineare e delle varietà di bandiera.
Contenuti
La teoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico può essere trattata in vari modi: applicando la teoria generale delle rappresentazioni dei gruppi, utilizzando tecniche combinatorie o usando le funzioni simmetriche. In questo corso vari risultati importanti in queste tre direzioni saranno illustrati. Un'enfasi particolare sarà messa sugli aspetti combinatori: quindi sarà dedicato ampio spazio a costruzioni esplicite, algoritmi e dimostrazioni costruttive.
Il corso non ha bisogno di prerequisiti particolari. Le nozioni elementari di teoria dei gruppi e di algebra lineare apprese nei corsi di Algebra 1 e Geometria 1 saranno sufficienti.
1. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti
2. Teoria dei caratteri
3. Costruzione delle rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico
4. Combinatoria dei tableaux di Young : formula degli uncini
5. La regola di Robinson-Schensted: relazioni di Knuth e jeu de Taquin
6. Introduzione alle funzioni generatrici
7. Funzioni simmetriche
8. La caratteristica di Frobenius
9. Regola di Littlewood-Richardson
10. Regola di Murnaghan-Nakayama
11. Combinatoria delle permutazioni
Gli studenti interessati ad approfondire le proprie competenze in un percorso algebrico centrato intorno alla teoria delle rappresentazioni, sono invitati a seguire anche il corso Representation Theory (96759), che si svolgerà in contemporanea, e che quest'anno tratterà di algebre di Lie e loro rappresentazioni.
Testi/Bibliografia
- Bruce E. Sagan. The Symmetric Group. Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions. Graduate Texts in Mathematics 203. Springer.
- Richard. P. Stanley. Enumerative Combinatorics 2. Cambridge University Press.
- William Fulton. Young Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry. London Mathematical Society Student Texts 35. Cambridge University Press.
Metodi didattici
Lezioni frontali e seminari specialistici degli studenti.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
Lo studente potrà scegliere tra un esame orale tradizionale e un seminario su un argomento avanzato legato alle tematiche del corso ma non sviluppato nel corso stesso.
Inoltre durante il corso verranno proposti degli esercizi che il candidato dovrà svolgere autonomamente. Le correzioni di alcuni di questi esercizi dovranno essere consegnare al docente alla fine del semestre e saranno valutate.
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Riccardo Biagioli