58416 - ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente acquisisce le nozioni fondamentali riguardanti gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari ed e' in grado di risolvere semplici problemi di Geometria analitica.

Contenuti

PROGRAMMA D'ESAME

Per ogni concetto sono richiesti definizione, esempi e controesempi. Per ogni enunciato e' richiesta anche la dimostrazione, salvo dove espressamente indicato.

I. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Relazioni d’equivalenza, classi di equivalenza. Applicazioni; applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche; composizione di applicazioni, applicazione inversa. Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Ogni equazione polinomiale ha soluzione nei numeri complessi (senza dimostrazione).

II. Gruppi. Campi. Spazi vettoriali e loro sottospazi. Esempi: n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni su un insieme finito a valori in un campo. Controesempi: curve, reticoli, coni, unione di sottospazi. L'intersezione di sottospazi e' un sottospazio.

III. Combinazioni lineari, sottospazio generato da un insieme di vettori. Insiemi generatori e insiemi linearmente indipendenti. Basi. Un insieme di vettori e' una base se e solo se ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei suoi elementi. Coordinate di un vettore in una base data.

IV. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità (senza dimostrazione). Dimensione. Basi canoniche per gli esempi precedenti (n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni su un insieme finito a valori in un campo). Somma diretta, formula di Grassman (cenni di dimostrazione). Due modi di descrivere un sottospazio vettoriale: forma parametrica e forma cartesiana; legami con la dimensione.

V. Applicazioni lineari. La composizione di applicazioni lineari è lineare. Le applicazioni lineari tra due spazi vettoriali dati formano uno spazio vettoriale. Nucleo e immagine di una applicazione lineare; il nucleo e l'immagine sono sottospazi. Legame con l'iniettività e la suriettività. Teorema del rango. Isomorfismi; l'essere isomorfi e' una relazione di equivalenza. 

VI/a. Esiste una e una sola applicazione lineare che prende valori dati su una base data. Matrice di un'applicazione lineare in basi date; isomorfismi tra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali dati e lo spazio vettoriale delle matrici m x n. La matrice della composizione di due applicazioni è il "prodotto riga per colonna" delle due matrici corrispondenti. Una applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se manda basi in basi. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione n su un campo dato sono isomorfi tra loro.

VI/b. Matrice identità, matrici invertibili. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se i suoi vettori colonna sono linearmente indipendenti; rango di una matrice. Gruppo generale lineare, gruppo speciale lineare. Determinante di una matrice quadrata: definizione ricorsiva e sue proprietà (senza dimostrazione). Formula per la matrice inversa di una matrice data. Matrice di un cambiamento di base. Similitudine; due matrici sono simili se e solo se rappresentano la stessa applicazione lineare (senza dimostrazione). Matrici quadrate che rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse hanno lo stesso determinante;  determinante di una applicazione lineare.

VII Soluzione di sistemi n×n mediante inversione della matrice dei coefficienti ("metodo di Cramer"). L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale. Spazi affini e loro sottospazi. Rappresentazione parametrica e rappresentazione cartesiana di un sottospazio. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, se non è vuoto, è un sottospazio affine di dimensione n-rk A (cenni). Cenni al teorema di Rouche'-Capelli. Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Applicazioni alla geometria: rette e piani passanti per punti dati; intersezioni di rette e di piani; parallelismo.

VIII Matrici diagonali e loro proprieta'. Autovalori e autovettori di una applicazione lineare. Polinomio caratteristico; esempi di applicazioni lineari che non hanno autovalori nel campo razionale o nel campo reale. Autospazi. Basi di autovalori. Molteplicita' algebrica e geometrica. Una applicazione e' diagonalizzabile su un campo dato se e solo se tutti gli autovalori appartengono al campo e la molteplicita' algebrica di ciascun autovalore e' uguale alla sua molteplicita' geometrica. Matrici nilpotenti; cenni alla forma canonica di Jordan.

IX/a Forme bilineari. Biezione tra forme bilineari e matrici (in una base data). Forme blineari simmetriche e antisimmetriche, matrici simmetriche e antisimmetricheForme quadratiche. Corrispondenza tra forme quadratiche e forme bilineari simmetriche. Congruenza tra matrici; due matrici sono congruenti se e solo se rappresentano la stessa forma bilineare.

IX/b Diagonalizzazione di forme bilineari. Per ogni forma bilineare simmetrica esiste una base diagonalizzante (ovvero ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice diagonale). Forma canonica di una forma bilineare reale; segnatura. Teorema di Sylvester, ovvero la segnatura non dipende dalla base scelta. Forme quadratiche reali definite positive e negative, semidefinite positive e negative, indefinite. Forma canonica di una forma bilineare complessa.

X/a. Prodotti scalari. Esempi notevoli di prodotti scalari: prodotto scalare standard di n-ple di elementi di un campo, prodotto scalare standard di funzioni (a valori un campo) su un insieme finito, integrale del prodotto di funzioni continue su intervallo chiuso e limitato. Disuguaglianza di Cauchy-Schwatz. Angolo convesso tra due vettori. Norma di un vettore e sue proprieta'. Proprietà che deve soddisfare una funzione su un insieme per essere detta una "distanza". Due esempi di distanze che non sono indotte da da un prodotto scalare. Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali. Un insieme ortogonale di vettori e' linearmente indipendente. Sottospazio ortogonale a un sottospazio dato. Applicazioni alla geometria: sottospazio affine ortogonale ad un sottospazio dato e passante per punti dati. Esistenza di basi ortonormali. Il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto scalare standard delle loro coordinate rispetto ad una base ortonormale. Cenni al teorema spettrale.

X/b Isometrie*. Una applicazione lineare e' una isometria se e solo se conserva la norma di ogni vettore. Ogni isometria e' un isomorfismo. Ogni isometria conserva gli angoli. Matrici ortogonali, gruppo ortogonale. Una base e' ortonormale se e solo se la matrice del cambiamento di base, rispetto ad una base ortonormale data, e' ortogonale. Un'applicazione lineare e' una isometria se e solo se manda basi ortonormali in basi ortonormali. Un'appicazione lineare e' una isometria se e solo la sua matrice rispetto ad una qualunque base ortonormale e' ortogonale. . Determinante e autovalori di una isometria. Classificazione delle isometrie in dimensione 2: rotazioni e simmetrie. Classificazione delle isometrie in dimensione 3. Applicazioni affini, isomorfismi affini, isometrie affini.

XI. Omeomorfismi. Varietà, carte, coordinate. Esempi (circonferenza, iperbole, sfera, cono, SL(2,R)...). Spazi proiettivi e loro carte. Vettori tangenti e spazio tangente ad una varietà in un punto. Curve lisce. Vettore normale, superfici orientabili. Matrici a traccia nulla e spazio tangente di SL(2,R) nell'identità.

*Nota: abbiamo chiamato "isometrie" quelle applicazioni lineari che conservano il prodotto scalare: su alcuni testi esse sono chiamate "operatori unitari". Su questi testi, sono chiamate "isometrie quelle che noi abbiamo chiamato 'isometrie affini', ovvero le applicazioni affini che conservano le distanze.

Testi/Bibliografia

Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.

Blog del corso: https://astroalgebra.wordpress.com/

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni, tutorato, blog del corso (https://astroalgebra.wordpress.com/), utile anche per gli studenti non frequentanti.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Scritto e orale. Lo scritto potrà essere svolto in modo tradizionale alla fine del corso, oppure tramite sei micro-verifiche, di cui 5 durante lo svolgimento del corso ed una alla fine del corso stesso.

AVVISO IMPORTANTE: La possibilita' di svolgere le microverifiche e' riservata agli studenti iscritti al primo anno. Gli altri studenti (iscritti al secondo o terzo anno o fuoricorso) svolgeranno l'esame nel modo tradizionale (scritto e orale alla fine del corso).

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci