- Docente: Piero Plazzi
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/01
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea Magistrale in Matematica (cod. 5827)
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dal 22/09/2022 al 22/12/2022
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso, lo studente ha una visione critica dell'odierno sviluppo della ricerca sui fondamenti della matematica (incompletezza dei sistemi assiomatici e indipendenza), che ormai, oltre alla tradizionale importanza per la didattica, è strettamente intrecciato con le ricerche logiche e con le problematiche legate alla teoria della computabilità, legandosi così anche allo sviluppo dell'informatica teorica.
Contenuti
0. Prerequisiti. E' fortemente raccomandata una certa conoscenza della logica degli enunciati e soprattutto di quella dei predicati, per la quale si rimanda, a titolo di esempio, a testi in bibliografia. Sono anche disponibili dispense nella pagina di Princìpi in Virtuale (URL reperibile qui sopra).
1. Computabilità, aritmetica e teoremi di incompletezza. Computabilità intuitiva. Algoritmi: di calcolo, di decisione, di enumerazione. Un primo approccio: le macchine di Turing. Un secondo approccio: la ricorsività. Funzioni ricorsive primitive, esempi di Ackermann e μ-ricorsività. Relazioni e insiemi ricorsivi, enumerabilità. Tesi di Church-Turing. L'aritmetica di Peano e PA. Cenno ad altri approcci equivalenti alla computabilità.
Ricorsività ed aritmetica: la gödelizzazione. Teoremi di incompletezza di Gödel e loro principali conseguenze.
2. Teoria assiomatica degli insiemi. Cenni di storia della teoria degli insiemi: le dimostrazioni di Cantor sugli insiemi numerici, la teoria intuitiva ed i suoi paradossi (Cantor, Russell). La teoria assiomatica standard: gli assiomi di ZF. Assiomi speciali: scelta, fondazione, 'ipotesi' del continuo. Teorie alternative: NBG ed il concetto di classe; insiemi non ben fondati, teorie non standard. Cenno all'indipendenza di assiomi in teoria degli insiemi.
3. Cardinalità e ordinalità: l'approccio di Cantor. Numeri ordinali e cardinali secondo von Neumann. Il paradosso di Burali-Forti. Aritmetica ordinale e aritmetica cardinale.
Testi/Bibliografia
I seguenti testi di Logica Matematica (utili anche per i prerequisiti e reperibili in Biblioteca) contengono discussioni sulla assiomatica dell'aritmetica e degli insiemi:
G. LOLLI, Introduzione alla logica formale, Bologna, Il Mulino.
E. MENDELSON, Introduzione alla logica matematica, Torino, Bollati Boringhieri (anche per un approccio alternativo alla teoria della computabilità).
Un brillante testo 'elementare' sulla teoria degli insiemi è
P. R. HALMOS, Teoria elementare degli insiemi, Milano, Feltrinelli (parti 2 e 3), pure disponibile in diverse copie e traduzioni in Biblioteca.
Sono disponibili dispense, scaricabili dal sito 'virtuale'. Sempre su questo sito sono reperibili dispense di Logica Matematica, ma è raccomandabile la frequenza a un corso.
Metodi didattici
Oltre a una attenzione particolare alla didattica degli argomenti trattati, particolare riguardo viene riservato alla storia e alle implicazioni culturali della ricerca sui fondamenti della Matematica.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
La verifica consiste in una prova orale: mediante un colloquio basato su tre domande riguardanti le singole parti in cui è suddiviso il programma, lo studente dovrà dimostrare la capacità di padroneggiare e valutare criticamente i concetti fondamentali del corso ed essere consapevole delle possibilità didattiche degli argomenti trattati.
Strumenti a supporto della didattica
Lezioni alla lavagna; dispense su tutto il programma in formato pdf disponibili sul sito per la didattica.
Link ad altre eventuali informazioni
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Piero Plazzi