- Docente: Piero Plazzi
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/01
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea Magistrale in Matematica (cod. 8208)
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso, lo studente ha una visione critica dell'odierno sviluppo della ricerca sui fondamenti della matematica (incompletezza dei sistemi assiomatici e indipendenza), che ormai, oltre alla tradizionale importanza per la didattica, è strettamente intrecciato con le ricerche logiche e con le problematiche legate alla teoria della computabilità, legandosi così anche allo sviluppo dell'informatica teorica.
Contenuti
0. Prerequisiti. E' fortemente raccomandata una certa
conoscenza della logica degli enunciati e soprattutto di quella dei
predicati, per la quale si rimanda al programma e ai testi
segnalati nel mio programma di Logica Matematica (CdL triennale) .
1. Computabilità, aritmetica e teoremi di incompletezza.
Computabilità intuitiva. Algoritmi: di calcolo, di decisione, di
enumerazione. Un primo approccio: le macchine di Turing. Un
secondo approccio: la ricorsività. Funzioni ricorsive primitive,
esempi di Ackermann e μ-ricorsività. Relazioni e insiemi ricorsivi,
enumerabilità. Tesi di Church-Turing. L'aritmetica di Peano e PA.
Ricorsività ed aritmetica: la gödelizzazione. Teoremi di
incompletezza di Gödel e loro principali conseguenze.
2. Teoria assiomatica degli insiemi. Cenni di storia della
teoria degli insiemi: le dimostrazioni di Cantor sugli insiemi
numerici, la teoria intuitiva ed i suoi paradossi (Cantor,
Russell). La teoria assiomatica standard: gli assiomi di ZF.
Numeri ordinali e cardinali secondo von Neumann. Assiomi speciali:
scelta, fondazione, 'ipotesi' del continuo. Teorie alternative:
NBG ed il concetto di classe; insiemi non ben fondati,
teorie nonstandard. Cenno all'indipendenza di assiomi.
Testi/Bibliografia
G. LOLLI, Introduzione alla logica formale, Bologna, Il
Mulino (per i prerequisiti di logica formale).
E. MENDELSON, Introduzione alla logica matematica, Torino,
Bollati Boringhieri (parti 2 e 3).
P. R. HALMOS, Teoria elementare degli insiemi, Milano,
Feltrinelli (parte 3)
Sono disponibili dispense, scaricabili dal sito AMScampus.
Metodi didattici
Particolare riguardo viene riservato alla storia e alle
implicazioni culturali della ricerca sui fondamenti della
Matematica.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
La verifica consiste in una prova orale: mediante un colloquio
basato su tre domande lo
studente dovrà dimostrare la capacità di padroneggiare e valutare
criticamente i concetti fondamentali del corso.
Strumenti a supporto della didattica
Lezioni alla lavagna; dispense su tutto il programma in formato pdf disponibili su AMScampus.
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Piero Plazzi