28357 - ALGEBRA 1

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente ha acquisito alcune conoscenze di base dell'algebra: in particolare ha conosciuto la definizione rigorosa degli insiemi dei numeri naturali, interi e razionali e ha affrontato lo studio di strutture algebriche utili quali insiemi parzialmente ordinati, reticoli e gruppi. Lo studente sa avvalersi di tali consoscenze per acquisire padronanza del linguaggio e del ragionamento matematico.

Contenuti

INSIEMI

Prodotto cartesiano, insieme delle parti. Relazioni, relazioni d'equivalenza; relazioni d'ordine totale e parziale, loro diagramma di Hasse. Divisibilità e congruenza tra numeri interi. Classi di equivalenza, insieme quoziente. Partizioni di un insieme e loro equivalenza con le relazioni di equivalenza. Funzioni: definizione, terminologia. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Elementi di base di teoria della cardinalità. Elementi di base di combinatoria enumerativa.

NUMERI

Numeri naturali, costruzione dei numeri interi e razionali. Numeri primi e numeri irriducibili. La divisione con resto in Z. Il MCD in Z. L'algoritmo di Euclide. Esempio. L'identità di Bèzout. Gli irriducibili sono primi. Principio del buon ordinamento. Principio di induzione. Criteri di divisibilità, scritture in altre basi. Definizione di somma e prodotto su Z/n. Costruzione dei numeri interi e dei numeri razionali come classi di equivalenza. Teorema fondamentale dell'aritmetica.

GRUPPI

Definizione di gruppo. Gruppi commutativi e non commutativi. Esempi e controesempi di gruppi rispetto a somma, prodotto e composizione. Il gruppo delle biezioni di un insieme e degli isomorfismi di uno spazio vettoriale. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi. Sottogruppi. Ordine di un elemento.  Prodotto diretto di gruppi. La legge di cancellazione in un gruppo. Notazione standard in un gruppo astratto. Potenze di un elemento di un gruppo. Classificazione dei sottogruppi di Z. Classificazione dei sottogruppi di Z/n. Intersezione e unione di sottogruppi. Sottogruppo generato da un sottoinsieme e descrizione dei suoi elementi. Gruppi ciclici e loro classificazione e loro generatori

GRUPPI di PERMUTAZIONI

Il gruppo diedrale: rotazioni e riflessioni. Il gruppo diedrale è generato da una rotazione e da una riflessione. Relazioni tra essi. Il gruppo simmetrico. Notazione a due righe. Inverso. Notazione ad una riga. Composizione. Azione di S su {1,2,...,n}. Orbite. Cicli. Ogni permutazione è prodotto dei propri cicli. L'ordine di una permutazione. Prodotto tra cicli e inversa di un ciclo. Trasposizioni. Le trasposizioni generano il gruppo simmetrico.  Permutazioni pari e permutazioni dispari. Teorema: una permutazione non può essere sia pari che dispari. Inversioni di una permutazione. Il segno di una permutazione tramite il numero di inversioni. Il segno è un omomorfismo. Il gruppo alterno. Il coniugio in S_n tramite una permutazione. Il coniugio è un automorfismo. Classi di coniugio. Struttura ciclica di una permutazione. Due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica.  Un insieme di generatori costituito da due permutazioni.

LATERALI e QUOZIENTI

Laterali sinistri e destri. L'indice di un sottogruppo. Corrispondenza biunivoca tra laterali sinistri e laterali destri e tra due laterali. Il teorema di Lagrange: conseguenze e casi particolari. Nucleo e immagine di un omomorfismo. Omomorfismi iniettivi. Il teorema di Cayley. Sottogruppi normali. Centro di un gruppo. Un sottogruppo e' normale se e solo se e' unione di classi coniugate. Un sottogruppo e' normale se e solo se il prodotto di laterali destri e' un laterale destro. Gruppo quoziente e proiezioni. Relazioni compatibili: corrispondenza tra relazioni compatibili e sottogruppi normali. Teorema di omomorfismo.

AZIONE DI UN GRUPPO

Prodotti diretti esterni e interni e loro equivalenza. Prodotti semidiretti (interni). Cenni ai prodotti semidiretti esterni. Classificazione dei sottogruppi (normali) di un quoziente. Azione di un gruppo su in insieme. Azione naturale di S_n. Azione per coniugio di un gruppo su se stesso e sui suoi sottogruppi. Azione per moltiplicazione a sinistra di un gruppo su se stesso, sui laterali di un suo sottogruppo e sui sottoinsiemi di cardinalità fissata. Orbita di un'azione. Azioni transitive. Stabilizzatore di un'orbita. La formula delle orbite. La formula delle classi. Conseguenze: i p-gruppi hanno centro non banale, i gruppi di ordine p^2 sono abeliani. Il teorema di Cauchy: caso abeliano e caso generale. Il teorema di Sylow. Verifica che i gruppi GL_d(Z/p) possiedono sottogruppi di Sylow. Tre dimostrazioni del teorema di Sylow: utilizzando l'azione sui sottoinsiemi di cardinalità fissata, usando la formula delle classi e sfruttando il fatto che un sottogruppo di un gruppo che ha un Sylow deve necessariamente avere un Sylow

Testi/Bibliografia

G. M. Piacentini Cattaneo: ALGEBRA, un approccio algoritmico,

Zanichelli, 1996

I.N. Herstein: Algebra. Editori riuniti, 2010.

M.Artin: Algebra. Bollati Boringhieri 1997.

S. Lang: Undegraduate Algebra, Springer-Verlag, 1987

 

Metodi didattici

Lezioni frontali in presenza con possibilità per chi ne avesse necessità di seguire le lezioni online. Almeno due ore la settimana sono dedicate alla risoluzione alla lavagna da parte (del docente o) degli studenti di esercizi assegnati durante la lezione precedente.

E' stato proposto di sdoppiare il corso in modo da poter permettere a tutti gli studenti di poter seguire in presenza le lezioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame ha lo scopo di verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi: conoscenza approfondita degli strumenti di algebra presentati durante il corso; capacità di utilizzare gli strumenti forniti per risolvere un problema di algebra di base.

La prova d'esame è costituita da un prova scritta e da una prova orale. Per partecipare a ciascuna prova è necessaria l'iscrizione al relativo appello sul sito AlmaEsami.

La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e di problemi  e mira a valutare la capacità dello studente di saper applicare gli strumenti teorici forniti. Durante la prova scritta non è ammesso l'uso di libri o appunti, ma solo l'utilizzo di una calcolatrice. La valutazione dello scritto è in trentesimi e prevede una votazione minima di 15/30 per essere ammessi alla prova orale. I risultati vengono inseriti sul sito AlmaEsami.

La prova orale verte a verificare la conoscenza teorica della materia. In occasione della prova orale viene sempre effettuata la correzione alla lavagna e la discussione della prova scritta. La valutazione finale terrà conto delle due prove nel loro complesso e la relativa verbalizzazione viene effettuata al termine della prova orale.

Sono previsti sei appelli nell'arco dell'anno accademico: tre nella sessione invernale Gennaio-Febbraio, due nella sessione estiva Giugno-Luglio e una nella sessione autunnale di Settembre. Le loro date esatte saranno disponibili sul sito AlmaEsami con ampio anticipo.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fabrizio Caselli

Consulta il sito web di Luca Moci