28202 - STATISTICA C.A.

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce i fondamenti metodologici dei principali strumenti probabilistici per il trattamento di fenomeni aleatori e delle più importanti tecniche parametriche per l'inferenza statistica, con particolare enfasi rivolta ai metodi basati sul concetto di verosimiglianza. In particolare, lo studente è in grado di: - scegliere e impostare le metodologie più opportune per la risoluzione di problemi di verifica d'ipotesi e stima puntuale in modelli statistici parametrici; - impiegare tali tecniche in modo efficace e coerente nelle ricerche e negli studi applicati

Contenuti

Rassegna dei principali modelli probabilistici. Valore atteso, varianza e funzione generatrice dei momenti di una variabile casuale. Trasformazioni scalari di variabili casuali.

Vettori aleatori. Distribuzioni congiunte, condizionate e marginali. Indipendenza. Sequenze di variabili casuali. Teoremi limite e convergenze. Trasformazioni scalari e vettoriali di un vettore aleatorio. La distribuzione normale multivariata.

Obiettivi dell'inferenza statistica. I modelli probabilistico, di campionamento e statistico. Distribuzioni campionarie. L'identificabilità di un modello statistico.

La funzione di verosimiglianza ed il principio di verosimiglianza. Statistiche, statistiche sufficienti e statistiche sufficienti minimali. Famiglie esponenziali.

Il problema della stima e la sua risoluzione attraverso il metodo della massima verosimiglianza. Cenni ad altri metodi di stima. L'informazione osservata ed attesa di Fisher e la disuguaglianza di Rao-Cramér. Le proprietà auspicabili di uno stimatore e le proprietà degli stimatori di massima verosimiglianza.

Il problema della verifica di ipotesi e la sua risoluzione secondo l'impostazione di Neyman-Pearson. Il test del rapporto di verosimiglianza e le sue più importanti applicazioni.

 

Prerequisiti

1) Analisi matematica e algebra lineare

Operatori di sommatoria e produttoria. Fattoriali e coefficienti binomiali. Funzioni reali di una variabile reale. Le principali funzioni matematiche e relative proprietà. Il limite di una funzione. La derivata di una funzione. Derivate delle principali funzioni matematiche. Regole di derivazione del prodotto e del rapporto tra due funzioni. L'integrale di una funzione. Integrale delle principali funzioni matematiche. Regole di integrazione per parti e per sostituzione. Operazioni tra matrici. L'inversa di una matrice. Matrici simmetriche, (semi)definite positive, ortogonali. Il determinante di una matrice.

2) Calcolo delle probabilità

Esperimenti aleatori e spazi campionari ad essi associati. Eventi elementari ed eventi composti. Relazioni di inclusione e di incompatibilità tra eventi. Eventi di particolare interesse: evento certo, evento impossibile, evento complementare, evento unione, evento intersezione. Definizioni di probabilità. Assiomi e proprietà della probabilità. Probabilità condizionata di eventi. Eventi indipendenti. La legge della probabilità totale. Il teorema di Bayes. Variabile casuale. Regole di calcolo delle probabilità di particolari valori di una variabile casuale. Funzioni di ripartizione; di massa e di densità di probabilità.

3) Statistica

Distribuzioni di frequenza, frequenza relativa e frequenza percentuale per una variabile statistica. La moda, la mediana e la media aritmetica. Misure della variabilità e della dipendenza lineare tra due variabili quantitative. Elementi di stima parametrica e di verifica di ipotesi statistiche secondo la teoria dei test di significatività. Uso delle tavole statistiche relative alle distribuzioni normale standardizzata, chi-quadrato e t di Student.

Ulteriori informazioni sui prerequisiti sono disponibili nella dispensa presente nel materiale didattico dedicata a questo argomento.

Testi/Bibliografia

J. H. McColl, Multivariate probability. Arnold, London, 2004, capitoli 1-8.

A. Azzalini, Inferenza statistica. Una presentazione basata sul concetto di verosimiglianza. 2° edizione, Springer-Verlag Italia, Milano, 2001, capitoli 1-4.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Le lezioni hanno prevalente contenuto teorico e riguardano la teoria del calcolo delle probabilità e dell'inferenza statistica. Al fine di fornire allo studente la capacità di impiegare tale teoria in modo efficace e coerente nelle ricerche e negli studi applicati, sono previste esercitazioni (con cadenza settimanale) durante le quali sono proposti e risolti esercizi sugli argomenti trattati nelle lezioni. Le esercitazioni sono svolte da un tutor.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'obiettivo generale della prova d'esame consiste nel verificare il raggiungimento di un'adeguata preparazione sugli argomenti del programma d'esame. In particolare, la verifica mira ad accertare la preparazione raggiunta sia a livello teorico (conoscenza dei metodi probabilistici e inferenziali) sia a livello pratico (capacità di risoluzione di problemi pratici di calcolo delle probabilità e inferenza statistica).

La verifica dell'apprendimento si articola in una prova scritta obbligatoria e una prova orale facoltativa.

La prova scritta si svolge in aula, ha durata due ore e si compone di domande teoriche e domande pratiche. Le domande teoriche riguardano i metodi probabilistici e inferenziali. Le domande pratiche richiedono lo svolgimento di esercizi. Durante la prova scritta non è consentita la consultazione di appunti nè di libri. Per lo svolgimento dei calcoli è necessario portare con sè una calcolatrice. E' ammessa la consultazione della tabella di sintesi delle distribuzioni di probabilità disponibile nel materiale didattico. Al termine della prova scritta lo studente consegue una valutazione della sua preparazione espressa in trentesimi.

In caso di valutazione di almeno 20/30 nella prova scritta, lo studente può richiedere di sostenere la prova orale. La prova orale consiste in una domanda di tipo teorico relativa ad un argomento specifico del programma. Al termine della prova orale lo studente consegue una seconda valutazione della sua preparazione data da un punteggo tra -2 e +2. Il punteggio ottenuto si somma alla valutazione conseguita al termine della prova scritta e tale somma costituisce la valutazione finale.

Ulteriori informazioni sull'esame sono disponibili nella dispensa presente nel materiale didattico dedicata a questo argomento.

Strumenti a supporto della didattica

La maggior parte delle lezioni si svolge senza l'uso di materiale didattico su supporto informatico. Occasionalmente vengono utilizzate slide predisposte dal docente. Le dispense che le contengono sono rese disponibili agli studenti, prima della lezione, nel deposito istituzionale dei materiali didattici dell'Università di Bologna AMS Campus. Su questo deposito sono inoltre disponibili anche dispense contenenti esercizi tratti da prove d'esame con risoluzione ed i testi di alcune vecchie prove d'esame da risolvere individualmente.

Le spiegazioni fornite a lezione devono essere opportunamente integrate con quelle presenti nei testi di riferimento (non sono sostitutive di queste ultime).

In caso di carenze sugli argomenti di analisi matematica, algebra matriciale, calcolo delle probabilità e statistica indicati nei prerequisiti è indispensabile recuperare le conoscenze necessarie prima di iniziare lo studio degli argomenti del programma. Alcuni testi utili a questo scopo sono indicati nella dispensa presente nel materiale didattico dedicata ai prerequisiti.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Gabriele Soffritti