- Docente: Matteo Franca
- Crediti formativi: 9
- SSD: MAT/05
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
- Corso: Laurea in Ingegneria dell'automazione (cod. 9217)
Conoscenze e abilità da conseguire
Affinare e arricchire gli strumenti matematici di base (serie, curve, vari tipi di integrale, equazioni differenziali), per la risoluzione dei tipici problemi delle applicazioni.
Contenuti
Prerequisiti
Sono prerequisiti essenziali del corso la conoscenza di tutti gli argomenti svolti nel corso di Analisi Matematica T1, nonchè di numerosi argomenti svolti nel corso di Geometria e Algebra T (spazi vettoriali, trasformazioni lineari, matrici, determinanti, geometria analitica nel piano e nello spazio).
PROGRAMMA DEL CORSO
NUMERI COMPLESSI. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso. Formula di De Moivre. Potenze, radici, esponenziali e logaritmi di un complesso
LO SPAZIO EUCLIDEO R^n. La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Sottoinsiemi di R^n aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.
LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.
Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità. Definizione di funzione continua e di limite. I teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi per funzioni di più variabili. Definizione di derivata parziale e di derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1; il differenziale e la matrice jacobiana. Il teorema sulla differenziabiltà di una funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili. Estremanti relativi per funzioni reali di più variabili reali liberi .
INTEGRALE MULTIPLO. Definizione di integrale doppio di Riemann su insiemi limitati e misurabili. Proprietà dell'integrale doppio. I teoremi di riduzione su rettangoli e su insiemi semplici. Il teorema di cambiamento di variabili. Integrali tripli: estensione delle definizioni e dei teoremi sugli integrali doppi. Cenni sugli integrali doppi generalizzati.
INTEGRALI CURVILINEI E DI SUPERFICIE. Curve regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, integrale di una funzione su una curva. L'integrale di un campo vettoriale su una curva orientata. Campi vettoriali conservativi e loro potenziali. Il teorema di Green-Gauss. Superficie regolari e regolari a tratti in R^3, area di una superficie, integrale di una funzione su di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attarverso una superficie orientata. I teoremi della divergenza e di Stokes.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi differenziali. Teoremi di esistenza, unicità e prolungabilità. Metodi risolutivi per equazioni non-lineari a variabili separabili e per equazioni lineari del primo ordine. Trasformata di Laplace: proprietà algebriche e differenziali. L'uso della trasformata di Laplace nella risoluzione di equazione differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
Testi/Bibliografia
Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.
oppure
Fusco-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.
Un libro di esercizi sulle funzioni di più variabili reali, ad esempio:
M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Progetto Leonardo - Esculapio (2012),
oppure
P.Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica Due (prima e Seconda Parte) ed. Zanichelli.
Comunque il materiale fornito su iol dovrebbe essere sufficiente per lo studio della parte teorica, probabilmente non per quella di esercizi.
Metodi didattici
Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alle proprietà alle funzioni reali di più variabili reali, ai campi di vettori e alle equazioni differenziali lineari e cenni alle non lineari. Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre vengono svolti numerosi esercizi in aula.
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
La verifica dell'apprendimento avverrà tramite 2 prove che lo studente dovrà superare in sequenza (il superamento della prima sarà vincolante per partecipare alla seconda).
La prima prova è uno scritto, della durata variabile tra le due ore e le due ore e mezza, in cui lo studente dovrà risolvere degli esercizi applicando le nozioni apprese nel corso. Tale prova si considera superata con una votazione di almeno 15 trentesimi.
La seconda sarà una prova teorica, volta alla verifica della comprensione delle definizioni e dei teoremi del corso e delle loro dimostrazioni. Tale prova potrà essere sostenuta anche in un appello successivo a quello in cui è stato superato lo scritto, ma entro 6 settimane. Con l'esame teorico lo studente potrà alzare il voto complessivo al massimo di 7 punti ma potrà anche abbassarlo o essere bocciato.
Se lo studente fallisce la prova teorica una volta, non deve ripetere le prove precedenti ma se fallisce una seconda volta dovrà ripetere anche la prova di esercizi (lo scritto).
Per limitare l'affollamento delle prove on-line della sessione estiva, lo studente, per essere ammesso allo scritto, lo studente dovrà sostenere ance un test a scelta multipla della durata di 10-15 minuti che verte su esercizi di semplice risoluzione.
Strumenti a supporto della didattica
Link ad altre eventuali informazioni
https://virtuale.unibo.it/course
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Matteo Franca [https://www.unibo.it/sitoweb/matteo.franca4]
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https://virtuale.unibo.it/course/view.php?id=18461
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Matteo Franca