27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli strumenti matematici di base (limiti, derivate, integrali) per l'analisi qualitativa delle funzioni e la risoluzione di problemi applicativi.

Contenuti

Nozioni di base: logica matematica, insiemi numerici, ordinamento e completezza di R, fattoriali, coefficienti binomiali e principio di induzione.

Funzioni: definizioni, immagine e controimmagine, funzioni iniettive e suriettive, funzione inversa, funzioni monotone, funzioni composte e funzioni elementari.

Numeri complessi: Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici n-esime, equazioni algebriche in campo complesso.

Successioni: definizioni di limite e carattere, unicità del limite, algebra dei limiti, permanenza del segno, teorema del confronto, criterio del rapporto e teorema di Stolz-Cesaro, forme indeterminate.

Limiti: Intorni, punti di accumulazione. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro. Proprietà del limite: unicità, località; proprietà algebriche del limite e teoremi del confronto. Limiti di funzioni monotone. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Asintotico e o-piccolo. Limiti notevoli.

Continuità: Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: Teorema degli Zeri, Teorema dei Valori Intermedi, Teorema di Weierstrass.

Derivazione: Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente; derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, regola di Leibniz, derivata della funzione reciproca, derivata della funzione inversa, derivata della funzione composta. Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange, Teorema di Cauchy; funzioni a derivata nulla e funzioni costanti, primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata. Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate. Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Peano, proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor delle funzioni elementari, applicazione ai limiti di forme indeterminate. Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda. 

Analisi qualitativa delle funzioni: cenno ai punti angolosi/cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari e Teorema di Fermat, condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale, punti di flesso (cenni).

Integrazione: Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Primo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (di Torricelli). Teorema della media integrale. Funzione integrale e funzione primitiva. Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (funzione integrale). Teorema di integrazione per parti e teorema di integrazione per sostituzione (e/o del cambiamento di variabile). Integrazione delle funzioni razionali.

Integrale di Riemann generalizzato: Definizioni; Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva.

Serie numeriche: Definizioni; condizione necessaria per la convergenza; serie a termini non negativi: Teorema del confronto e del confronto asintotico; criterio del rapporto e della radice. Serie a termini di segno alternante: Teorema di Leibniz.

Testi/Bibliografia

Analisi Matematica I di C. Canuto e A. Tabacco. Springer.

Analisi Matematica 1 di M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, Zanichelli.

Metodi didattici

Lezione alla lavagna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.


Esame scritto:
Esercizi simili a quelli forniti durante il corso, da risolvere entro 3 ore di tempo.
I punteggi per la sufficienza saranno segnalati nel testo dello scritto.
NON è consentito portare all'esame libri o appunti, ma è permesso usare righelli e calcolatrici, TRANNE quelle grafiche (ovvero, quelle che permettono di visualizzare grafici di funzioni).
L'insufficienza ad uno scritto non pregiudica la partecipazione agli scritti successivi.


Esame orale:
Chi non abbia preso un voto sufficiente allo scritto non può sostenere l'orale.
Si può sostenere l'esame orale SOLO all'interno della stessa sessione dello scritto, anche in un appello differente da quello in cui si è superato lo scritto.
Un voto insufficiente a un orale non pregiudica la partecipazione agli orali successivi, purché all'interno della stessa sessione. Una volta terminata la sessione, è necessario passare un nuovo scritto per essere ammessi all'orale della sessione successiva.


Voto finale: Il voto finale tiene conto sia dello scritto che dell'orale.


Numero di esami: Tre appelli nella sessione invernale (gennaio-febbraio). Tre appelli nella sessione estiva (uno a giugno; uno a luglio; uno a settembre).


Iscrizione agli esami: Lo studente dovrà iscriversi sia all'esame scritto che all'esame orale attraverso il sito di Alma Esami.
Chi non si iscrive non può sostenere l'esame scritto od orale.


Attenzione: l'iscrizione chiude normalmente svariati giorni prima della prova! Iscriversi per tempo!

Strumenti a supporto della didattica

Materiale didattico caricato su Virtuale.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Eugenio Vecchi

Consulta il sito web di Filippo Morabito

Consulta il sito web di Giovanni Eugenio Comi