27210 - ANALISI MATEMATICA 1

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente acquisisce nozioni di base del calcolo infinitesimale e integrale, sviluppando insieme l'abitudine al ragionamento scientifico e una sensibilità all'analisi di modelli matematici, soprattutto tramite lo studio dello sviluppo asintotico di funzioni. Inoltre è in grado di compiere uno studio dettagliato di funzioni in una variabile, di successioni e serie sia numeriche che di funzioni.

Contenuti

 ELEMENTI DI ANALISI COMBINATORIA

Permutazioni, combinazioni e disposizioni. Formula del binomio di Newton.


INSIEMI

Definizione degli insiemi numerici N,Z,Q,R.
Dimostrazioni per induzione.
Estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme della  retta.
Assioma di completezza.


SUCCESSIONI E SERIE

Definizione di successione convergente.
Algebra dei limiti.
Definizione di successione divergente.
Teorema del confronto.
Le successioni monotone e limitate sono convergenti.
Definizione del numero e.
Successioni di Cauchy e seconda definizione della completezza (una successione in R è convergente se e solo se è di Cauchy).
Definizione di serie convergente.
Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
Serie a termini non negativi (criteri del rapporto, della radice e di condensazione).
Serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata.
Convergenza assoluta.
Criterio di Leibniz (per serie a segno alterno).

ELEMENTI DI TOPOLOGIA DELLA RETTA

Valore assoluto e sue proprietà.
Definizione di sottoinsieme aperto.
Definizione di insieme chiuso.
Definizione di punto di accumulazione.
Definizione di insieme limitato.
Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Definizione di insieme compatto.
Definizione di insieme connesso.

 

FUNZIONI


Definizione (ed esistenza) della radice n-esima di un numero non negativo.
Definizione dell'elevamento a potenza con esponente reale.
Funzioni continue (definizione e principali teoremi: teorema degli zeri, teorema del valore intermedio e teorema di Weierstrass).
Funzioni uniformemente continue.
Definizione delle funzioni elementari (elevamento a potenza con esponente reale, esponenziale, logaritmi, funzioni trigonometriche con relative funzioni inverse).
Continuità delle funzione elementari.
Continuità della funzione inversa di una funzione continua ed invertibile definita su di un intervallo connesso.


DERIVATE

Definizione di derivata.
Algebra delle derivate.

Derivata della funzione composta.

Derivata della funzione inversa.
Derivabilità delle funzioni elementari.
I Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy e De L'Hopital.
Formula di Taylor con resto secondo Peano, integrale e di Lagrange.


NUMERI COMPLESSI

Definizione di numero complesso.
Operazioni sui numeri complessi.
Interpretazione geometrica (dei numeri complessi e delle operazioni tra numeri complessi).
Rappresentazione polare di un numero complesso.
Formula di Eulero.


INTEGRALE

Definizione di integrale di Riemann di una funzione limitata.
Integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue (e limitate).
Proprietà dell'integrale.
Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione metodo dei fratti semplici (con radici reali o complesse di molteplicità arbitraria).
Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale.
Definizione di integrale in senso generalizzato.

 

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (cenni)

 

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili. 

Equazioni differenziali lineari del primo ordine. 

Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee, ossia con un termine di "sorgente"). 

Risoluzione del problema di Cauchy per le precedenti classi di equazioni. 

 

COMPLEMENTI (parte il cui studio è facoltativo)

 

Formula di Leibniz con derivate di altezza arbitraria.

Formula di Faà di Bruno. 

Formula di Stirling.

Calcolo del periodo di un pendolo matematico piano in funzione dell'ampiezza delle oscillazioni.

Funzioni gamma e beta di Eulero. 

Calcolo del periodo di un punto materiale sottoposto ad un potenziale della forma costante per una potenza del modulo di x.  Studio della successione cos (nx). 

Cardinalità di un insieme, numerabilità dei razionali, non numerabilità dei numeri reali. 

L'insieme delle parti di un dato insieme ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme.

Definizione ed esempi di spazi metrici e completezza. 

Teorema delle contrazioni. 

Teorema di esistenza di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie sulla retta (in ipotesi di lipschitzianità). 

Serie di funzioni. 

Integrazione per serie. 

Teorema di Abel (sulla convergenza uniforme su un chiuso)

Teorema della funzione implicita per una funzione scalare di due variabili.

 

 

Testi/Bibliografia

I libri di testo saranno indicati a lezione. 

Metodi didattici

Teoria ed esercizi.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto (obbligatorio): la prova consiste nella risoluzione di 5 esercizi (in forma di test a scelta multipla). I problemi riguardano: lo studio di funzione, il calcolo dei limiti, lo studio della convergenza di serie numeriche, il calcolo di integrali definiti e la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie. Ciascun esercizio risolto correttamente vale 5 punti (il voto massimo che si può prendere con il solo esame scritto è 25/30). La sufficienza si raggiunge risolvendo correttamente almeno tre esercizi.  Si può sostenere l'esame orale avendo risolto correttamente almeno tre esercizi. 

Esame orale (facoltativo): su tutti gli argomenti del programma esclusi i complementi.  

In caso di prova orale l'esito finale dell'esame sarà una valutazione complessiva delle due prove. 

Strumenti a supporto della didattica

Esercizi sia in classe sia a casa.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Paolo Albano