00674 - MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base di analisi matematica, di algebra lineare e di geometria essenziali per descrivere quantitativamente sistemi e processi geologici e per affrontare gli altri corsi del triennio, soprattutto quelli del raggruppamento fisico. In particolare, lo studente è in grado di rappresentare funzioni in forma grafica, eseguire applicazioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali, risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine e a variabili separabili, eseguire operazioni con vettori e matrici, e sa risolvere sistemi di equazioni lineari e semplici problemi di geometria nel piano e nello spazio.

Contenuti

Elementi di teoria degli insiemi e calcolo combinatorio.

• La nozione di insieme. Operazioni di unione, intersezione e complemento. Prodotto cartesiano tra due o più insiemi. I numeri naturali, interi, razionali e reali.
• Metodi de base per contare: principio di uguaglianza, di somma e di moltiplicazione.
• Coefficienti binomiali e binomio di Newton. Prove per assurdo.
• Numero dei sottoinsiemi di un insieme finito. Permutazioni senza e con ripetizione. Disposizioni senza e con ripetizione.

Elementi di geometria analitica

• Vettori nel piano e nello spazio: operazioni elementari, norma, proiezioni ortogonali. Formula delle distanza tra due punti nel piano e nello spazio.
• Angoli e trigonometria, prodotto scalare e vettoriale. Area del parallelogramma, volume del parallelepipedo. Lavoro di una forza, velocità.
• Basi canoniche di R2 e R3. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare.
• Rette e piani nel piano e nello spazio. Coefficiente angolare. Equazioni parametriche e cartesiane. Distanza punto retta.
  

Matrici e trasformazioni lineari

• Introduzioni alle applicazioni lineari: omotetie, simmetrie, riflessioni, rotazioni.
• Matrici e applicazioni lineari.
  
• Matrici: somma e prodotto righe per colonne di matrici.
• Matrici quadrate: matrici invertibili, definizione di determinante di una matrice quadrata. Tecniche di calcolo: Sarrus, Laplace. Teorema di Binet.
• Operazioni elementari sulle righe. Matrici elementari. Metodo di riduzione a gradini di Gauss. Rango di una matrice. Applicazioni per calcolare: la matrice inversa, il determinate, il numero di vettori indipendenti in una famiglia di vettori.

Sistemi lineari.

• Sistemi compatibili e incompatibili. Il teorema di Rouché-Capelli. Tecniche risolutive. Il metodo di riduzione di Gauss per risolvere sistemi lineari e per calcolare determinanti.
• Sistemi di Cramer, sistemi con parametro.

Funzioni elementari e nozioni relative.

• Dominio e condominio. Immagine e immagine inversa di un insieme tramite una funzione. Grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione tra funzioni e funzione inversa.
• Funzioni polinomiali, razionali, potenze, esponenziali, periodiche, trigonometriche e loro grafici.
• Funzioni inverse: logaritmo, arcoseno, arcocoseno, arcotangente.
• Esempi concreti: scarica di un condensatore, crescita maltusiana, fenomeni vibratori, datazione del carbonio.

Funzioni di una variabile reale.

• Successioni e limiti di successioni. Il numeri di Eulero e logaritmi nepesini. Funzioni, funzioni composte, funzioni inverse, funzioni numeriche reali, in particolare limiti e asintoti, continuità. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Operazioni algebriche sui limiti. Limiti notevoli.

Calcolo differenziale.

• Derivate e differenziali, loro significato, regole di derivazione, formula di Taylor, teorema di de l'Hopital, studio del grafico di una funzione.
  

Calcolo integrale.

• Primitive, integrale definito (secondo Riemann) e sue proprietà, teorema del valor medio, teorema fondamentale del calcolo integrale, tecniche di integrazione (integrazione per parti e per sostituzione), applicazioni dell'integrale definito.
  

Equazioni differenziali - (solo per Scienze Geologiche) 

• Risoluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine e a variabili separabili. Problema di Cauchy.
  

Funzioni reali di due variabili - (solo per Scienze Geologiche)

• Derivate parziali, massimi, minimi, punti di sella, integrali doppi.

MODULO 2 - STATISTICA APPLICATA - (solo per Scienze Naturali)

Introduzione alla statistica descrittiva; somministrazione del questionario iniziale; indici di tendenza centrale (media aritmetica, media geometrica, media armonica, media ponderata, mediana, moda); quantili.

Indici di scostamento (devianza, varianza, deviazione standard); il concetto di distribuzione statistica dei dati; la distribuzione normale; la distribuzione normale standard ed il test Z.

Test di normalità (quantili e plot quantile-quantile, test di Shapiro e Wilk).

Introduzione alla statistica inferenziale; il test t di Student a campione singolo.

Test t con due campioni appaiati e non appaiati; variabili quantitative a distribuzione non normale: i test di Wilcoxon e di Mann e Whitney.

Variabili qualitative: il test del chi quadro.

Regressione lineare e correlazione: il metodo di Pearson, r ed r2; significatività di una correlazione.

Analisi della varianza; one-way e two-way ANOVA; test di Tukey.

Laboratorio: introduzione ad R; generare un file di input; richiamare, visualizzare, gestire i dati; test di normalità e test t di Student con R. Chi quadro, regressione ed analisi della varianza con R.

 

Testi/Bibliografia

• Bigatti, Robbiano. Matematica di base. Seconda edizione. Cea. Zanichelli.

Per il Modulo di Statistica del materiale didattico sarà messo a disposizione dal docente su Virtuale.

Metodi didattici

Lezioni frontali in presenza: ogni settimana 4 ore di teoria e 2 ore di esercitazione. Ogni settimana viene fornita una lista di esercizi su cui esercitarsi: gli esercizi saranno poi svolti e corretti dal docente la settimana successiva.

Altri fogli di esercizi saranno distribuiti e corretti da un tutor durante esercitazioni supplementari che gli studenti possono seguire su base volontaria. 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame è costituita da un prova scritta e da una prova orale. Per partecipare a ciascuna prova è obbligatoria l'iscrizione al relativo appello sul sito AlmaEsami.

La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e mira a valutare la capacità di saper applicare gli strumenti teorici forniti nel corso. Durante la prova scritta non è ammesso l'uso di libri o appunti, o di ausili elettronici di alcun tipo. La valutazione dello scritto è in trentesimi e prevede una votazione minima di 16/30 per essere ammessi alla prova orale. Il risultato viene inserito sul sito AlmaEsami ed ha validità per l'intero a.a. 2022/23.

La prova orale verte a verificare la conoscenza teorica della materia ed è facoltativa in alcuni casi: le modalità precise verrano spiegate dal docente a inizio corso e saranno dettagliate su Virtuale. 

La prova di Statistica comporterà unicamente un esame scritto il cui voto contribuirà insieme a quello di Matematica al voto finale in proporzioni 2/9 e 7/9. 

Le date degli appelli di esame saranno disponibili sul sito AlmaEsami con ampio anticipo.

Strumenti a supporto della didattica

Alle persone aventi delle carenze di preparazione o delle difficoltà in Matematica è vivamente consigliato di frequentare le lezioni supplementari svolte dal Tutor ogni settimana. Durante queste lezioni verranno svolti degli esercizi specifici e richiamate parti di base del programma. 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Riccardo Biagioli