00006 - ALGEBRA SUPERIORE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente aumenta e rafforza le sue conoscenze algebriche su argomenti fondamentali ed avanzati, avendo acquisito ed essendo in grado di utilizzare autonomamente nozioni e risultati che, oltre alla loro importanza intrinseca, sono di supporto ad altri campi della matematica.

Contenuti

Introduzione, esempi di rappresentazioni. Rappresentazione regolare, algebra gruppo. Sottorappresentazioni, morfismi di rappresentazioni. Rappresentazioni semplici e irriducibili. Teorema del complementare e sue conseguenze. Richiami di algebra lineare. Somma diretta e prodotto tensoriale di rappresentazioni. Duale, potenza simmetrica e potenza esterna di una rappresentazione. Rappresentazione sullo spazio degli omomorfismi tra due rappresentazioni.

 

Carattere di una rappresentazione, invarianza sulle classi di coniugio. Lemma di Schur. Prodotto scalare tra funzioni centrali. Teorema: i caratteri delle rappresentazioni irriducibili sono un sistema ortonormale. Conseguenze: molteplicita' di un irriducibile in una rappresentazione data, criterio di irriducibilita', due rappresentazioni con lo stesso carattere sono isomorfe. Teorema: Ogni irriducibile appare nella rappresentazione regolare con molteplicità uguale alla propria dimensione. Teorema: i caratteri irriducibili formano una base per lo spazio delle funzioni centrali.

Conseguenze su numero e dimensione degli irriducibili: esempi. Rappresentazioni dei gruppi ciclici. Rappresentazioni associate al quoziente per sottogruppi normali; esempio: la rappresentazione segno dei gruppi simmetrici. Rappresentazioni del gruppo simmetrico su 3 e 4 lettere. Teorema: un gruppo e' abeliano se e solo se tutte le sue rappresentazioni irriducubili hanno dimenaione 1. Rappresentazioni irriducibili del prodotto diretto di due gruppi. Teorema: le rappresentazioni irriducibili di un gruppo hanno dimensione minore o uguale all’indice di ogni sottogruppo abeliano. Rappresentazioni dei gruppi diedrali.

 

Rappresentazione indotta (due definizioni); suo carattere. Esempi. Restrizione, teorema di reciprocità di Frobenius. Elementi integrali su sugli interi e loro proprieta'. Centro dell’algebra gruppo e proprietà dei suoi elementi. Teorema: la dimensione di ogni rappresentazione irriducibile divide l’ordine del gruppo.

 

Insieme delle partizioni di un intero dato, sua cardinalità e suoi ordinamenti. Diagrammi di Young e loro numerazioni; tabloid. Modulo dei tabloid e modulo di Specht associati ad una partizione. Esempio: il gruppo simmetrico su 3 lettere. Teorema: i moduli di Specht sono irriducibili e a due a due non ismomorfi. I caratteri delle rappresentazioni del gruppo simmetrico hanno valori interi. Morfismi e decomposizioni di moduli di tabloid. Esempio: i gruppi simmetrici su 4 e 5 lettere.

 

Tableau standard e semistandard, skew tableaux. Tre prodotti: row insertion, sliding, e concatenazione di parole modulo equivalenza di Knuth. Teorema: i tre prodotti suddetti coincidono (senza dimostrazione). Biezione di Robinson–Schensted–Knuth. Teorema: la dimensione del modulo di Specht è uguale al numero di tableau standard su quella partizione. Hook formula (senza dimostrazione). Esempi.Algebra delle funzioni simmetriche. Cinque sue basi e loro relazioni di ortogonalita' (senza dimostrazione). Trasposizione di una partizione e involuzione da essa indotta. Caratteri dei moduli dei tabloid (senza dimostrazione). Algebra delle rappresentazioni dei gruppi simmetrici. Teorema: c'e un isomorfismo e isometria tra tale algebra e l'algebra delle funzioni simmetriche (con dimostrazione, modulo i conti precedenti). Corollari: formula combinatoria di decomposizione dei moduli dei tabloid, caratteri dei moduli di Specht.

 

Arrangiamenti di iperpiani. Poset delle intersezioni. Complementare di un arrangiamento: caso reale, complesso, finito. Arrangiamenti centrali e essenziali. Esempi: a. booleano, a. delle trecce. Paradosso di Condorcet, teorema di impossibilità di Arrows (senza dimostrazione).

 

Gruppo delle trecce. Generatori e relazioni. Gruppo delle trecce puro. Teorema: Il gruppo fondamentale dell’arrangiamento delle trecce è il gruppo delle trecce pure. Gruppi di Coxeter, esempi. Gruppi di riflessioni reali ed arrangiamenti ad essi associati. Gruppi di Artin.

 

Arrangiamenti grafici. Deletion- contraction per arrangiamenti e per grafi. Polinomio cromatico di un grafo; sua relazione di deletion-contraction (con dimostrazione). Polinomio caratteristico di un arrangiamento; sua relazione di deletion-contraction (cenni di dimostrazione). Il polinomio cromatico di un grafo è uguale al polinomio caratteristico dell’arrangiamento corrispondente. Polinomio di Poincaré e sua relazione con polinomio caratteristico/cromatico (senza dimostrazione); metodo del campo finito. Esempio: l’arrangiamento delle trecce.Polinomio dei flussi di un grafo. Dualita' di grafi planari.

Matroidi: tre definizioni (indipendenti, basi, rango). Matroidi grafici e a atroidi realizzabili. Esempi. Deletion-contraction, dualità. Polinomio di Tutte e sue proprieta'. Sua relazione di deletion-contraction (senza dimostrazione).Relazioni col polinomio cromatico e polinomio dei flussi.

 

Richiami sulla coomologia singolare e sul suo cup product. Generatori della coomologia di un arrangiamento. Algebra di Orlik e Solomon di un arrangiamento: definizioni, esempi. Isomorfismo con la coomologia (senza dimostrazione). Due azioni del gruppo simmetrico: permutazione e permutazione coniugata. Rispettive rappresentazioni sulla coomologia dell’arrangiamento delle trecce. Calcolo di tali rappresentazioni per Br(2) e Br(3).

Testi/Bibliografia

Parti selezionate dei seguenti testi:

• Jean-Pierre Serre, Linear representation of finite groups (Springer-Verlag).
• William Fulton, young Tableaux (Cambridge University Press).
• Peter Orlik and Hiroaki Terao, Arrangements of hyperplanes (Springer)

Blog del corso: https://algebrasuperiore.wordpress.com/

Metodi didattici

Lezioni, esercizi per casa. Blog del corso (vedi sopra)

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Scritto e orale. Lo scritto potrà essere svolto in modo tradizionale alla fine del corso, oppure tramite quattro mini-verifiche, tre durante lo svolgimento del corso ed una alla fine del corso stesso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci