84535 - SYMMETRIES, ELECTRONS AND PHONONS

Scheda insegnamento

SDGs

L'insegnamento contribuisce al perseguimento degli Obiettivi di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda 2030 dell'ONU.

Energia pulita e accessibile

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

At the end of the course the student will learn the basic notions regarding: symmetries of the atomic structure of molecules and crystals and their description using group theory; electronic states in crystals in the independent electron approximation (band theory) and lattice vibrations in classical and quantum approaches.

Contenuti

1. Struttura Atomica

1.1. Introduzione alla simmetria

1.1.1. Introduzione alla simmetria in cristallografia. Trasformazioni isometriche. Congruenza diretta e opposta. Operazioni di simmetria. Descrizione matriciale.

1.1.2. Elementi di teoria dei gruppi per la cristallografia. Definizione. Gruppi Abeliani o commutativi. Tavole di moltiplicazione. Gruppi ciclici. Sottogruppi. Elementi coniugati. Classi. Simmetria molecolare. I gruppi puntuali. Gruppi puntuali cristallografici. Classi di operazioni di simmetria molecolare. Rappresentazioni riducibili ed irriducibili. Il Grande Teorema di Ortogonalità. Tavole dei caratteri. Funzioni base. Le funzioni d’onda soluzioni dell’equazione di Schrödinger come funzioni base per le rappresentazioni irriducibili. Applicazione: separazione (splitting) dei livelli atomici d in campo cristallino ottaedrico.

1.2. Strutture cristalline in 2D.

Reticoli di Bravais in 2 dimensioni. Vettori primitivi. I cinque reticoli di Bravais in 2D. Strutture cristalline: reticoli con base. Riduzione di simmetria e simmetria puntuale della base. Celle unitarie: primitive, convenzionali e di Wigner e Seitz. Gruppo spaziale. I 17 gruppi spaziali in 2D (gruppi planari).

1.3. Strutture cristalline in 3D

Strutture cristalline in 3 dimensioni. Reticoli monoatomici. Numero di coordinazione. I 14 reticoli di Bravais e i 7 sistemi cristallini. Cenno agli stereogrammi, ai 32 gruppi puntuali cristallografici e ai 230 gruppi spaziali. Cenno alla relazione tra struttura atomica e proprietà fisiche.

1.4. Determinazione della struttura dei cristalli mediante diffusione di onde e particelle

Raggi X, elettroni e neutroni. Diffusione da parte di un atomo nell'origine ed in posizione arbitraria. Diffusione da parte di un insieme di atomi. Atomi su reticolo, somme reticolari. Condizioni di Laue. Reticolo reciproco. Piani reticolari e indici di Miller. Diffrazione da un reticolo con base, fattore di struttura geometrico.

2. Struttura Elettronica

2.1. Il gas di elettroni liberi

2.1.1. Hamiltoniana di base per la materia condensata.

2.1.2. Gas di elettroni liberi. Condizioni al contorno di Born - von Karman. Sfera di Fermi. La distribuzione di Fermi - Dirac. Densità degli stati. Espansione di Sommerfeld (no dimostrazione). Espressione per il calore specifico; derivazione qualitativa.

2.2. Elettroni non interagenti in un potenziale periodico

2.2.1. Conseguenze della simmetria traslazionale. Proprietà generali degli stati elettronici in un potenziale periodico. Il teorema di Bloch. Equazione di Schrödinger nello spazio reciproco. Indice di banda e quantità di moto cristallina. Bande di energia. Cenno alla apertura della gap. Lo stato fondamentale, differenza tra metalli e isolanti/semiconduttori. La densità degli stati, relazione con la struttura a bande e singolarità di van Hove. Velocità degli elettroni di Bloch.

2.2.2. Elettroni quasi liberi. Elettroni indipendenti in un potenziale periodico debole. Degenerazione ad un singolo piano di Bragg. Interpretazione geometrica in termini di piani di Bragg. Rappresentazione delle bande in 1 dimensione nei diversi schemi. Rappresentazione delle bande in 3 dimensioni: caso del FCC per elettroni liberi. Costruzione delle superfici di Fermi. Zone di Brillouin di ordine superiore.

2.2.3. Tight binding. Il limite atomico, funzioni di Bloch costruite sulla base di orbitali atomici. Funzioni di Wannier. Combinazioni lineari di orbitali atomici quasi degeneri. Equazione agli autovalori. Il caso di una banda s. Integrali di sovrapposizione.

2.3 Complementi sulla struttura elettronica.

2.3.1 Panoramica sulle strutture a banda. Metalli, semiconduttori ed isolanti. Metalli quasi elettroni liberi (Al), gas nobili (Kr), semiconduttori (Si, Ge, GaAs), grafene, metalli di transizione (V).

2.3.2 Fotoemissione. La funzione lavoro. Apparati sperimentali. Stati iniziali e finali in approccio molti corpi e elettroni indipendenti. Fotoemissione integrata in angolo, densità degli stati. Fotoemissione risolta in angolo; esempio: la grafite.

2.4 Oltre l'approssimazione ad elettroni indipendenti. Equazioni di Hartree e Hartree-Fock. Hartree – Fock per il gas di Fermi. Schermo. Il metodo di Thomas – Fermi.

3. Coesione, vibrazioni reticolari e fononi

3.1. Classificazione e coesione dei solidi

Classificazione dei solidi: molecolari, ionici, covalenti, metallici e a legame idrogeno. Energie di coesione.

3.2. Approssimazione adiabatica.

Separazione dell'equazione di Schrödinger totale in due equazioni a descrizione degli stati elettronici e del moto nucleare. Approssimazione armonica.

3.3. Vibrazioni reticolari in approssimazione armonica: limite classico.

Catena atomica, relazioni di dispersione. Vibrazioni reticolari in 3D nell'approssimazione armonica. Proprietà della matrice . Equazione del moto e matrice dinamica; autovalori e auto vettori. Rami acustici e ottici.

3.4. Vibrazioni reticolari in approssimazione armonica: descrizione quantistica.

Espressione della Hamiltoniana per il cristallo armonico in termini degli operatori di creazione e distruzione. Fononi. Statistica di Bose - Einstein. Il calore specifico del reticolo. Limite di alta temperatura e legge di Dulong e Petit. Limite di bassa temperatura, andamento T3. Modelli di Einstein e di Debye.

3.5. Diffusione anelastica di neutroni.

Caratteristiche dei neutroni termici: energia e numero d'onda. Conservazione dell'energia e della quantità di moto nella diffusione dei neutroni da parte di un cristallo.

Testi/Bibliografia

Libri di testo principali:

  • F. Albert Cotton, Chemical Applications of Group Theory, Third Edition, Wiley (1990)
  • Michael P. Marder, Condensed Matter Physics, Second Edition, Wiley (2010)
  • Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics, Saunders College Publishing (1976)
  • Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, Eighth Edition, Wiley (2005)

Altri libri di testo:

  • Efthimios Kaxiras and John D. Joannopoulos, Quantum Theory of Materials, Cambridge University Press (2019)
  • Marvin Cohen and Steven Louie, Fundamentals of Condensed Matter Physics, Cambridge University Press (2016)
  • Attilio Rigamonti and Piero Carretta, Structure of Matter, Springer (2015)
  • Gian Franco Bassani e Umberto Grassano Fisica dello Stato Solido, Bollati Boringhieri (2000), only in Italian.
  • Feng Duan and Jin Guojon, Introduction to Condensed Matter Physics, Volume 1, World Scientific (2005).
  • Giuseppe Grosso and Giuseppe Pastori Parravicini, Solid State Physics, Second Edition, Academic Press (2014)
  • Peter Y. Yu and Manuel Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Fourth Edition, Springer (2010)
  • G.L. Squires, Introduction to the theory of thermal neutron scattering, Cambridge University Press, 1978
  • Hans Kuzmany, Solid State Spectroscopy, Second Edition, Springer (2009).
  • Carmelo Giacovazzo (editor), Fundamentals of Crystallography, Third Edition, Oxford University Press (2011).
  • Boris K. Vainshtein, Fundamentals of Crystals: Symmetry, and Methods of Structural Crystallography, Second Enlarged Edition, Springer (1994).
  • Boris K. Vainshtein, Vladimir M. Fridkin and Vladimir L. Indenbom, Modern Crystallography II: Structure of Crystals, Springer (1979)
  • Gerald Burns and Anthony M. Glazer, Space groups for solid state scientists, Academic Press (2013)
  • Michael Tinkham, Group Theory and Quantum Mechanics, Dover (2003).

Copia presentazioni utilizzate a lezioni, disponibili su virtuale.unibo.it

Metodi didattici

Lezioni frontali con presentazioni.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame orale della durata di circa 30 minuti. L'obiettivo dell'esame è la valutazione della conoscenza del significato fisico degli argomenti illustrati nel corso. Di norma, verranno discussi due argomenti. L'iscrizione alla lista di esame avviene tramite almaesami in gruppi di 3 studenti ogni ora e mezza, 12 studenti al giorno.

Strumenti a supporto della didattica

Presentazioni utilizzate a lezione, disponibili on-line.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Federico Boscherini